Q 150 Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo à razão constante, passando de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm . (Dica: d r / d t= -10 / 45 cm / min )

Passo 1

O enunciado diz que temos uma bola de neve esférica cujo raio r decresce a uma taxa constante, passando de 30,cm para 20,cm em 45,minutos. Pede-se a variação do volume V no instante em que r=25,cm. O conteúdo é taxa de variação relacionada (“related rates”) em geometria de esfera.

Passo 2

Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera em função de r:
V(r)=43pi r^3
Para relacionar dVdt e drdt, usamos a derivada de V em relação a r e depois a regra da cadeia.

Passo 3

Calculamos dVdr. Derivando
V(r)=43pi r^3
em relação a r, obtemos
dVdr=4pi r^2

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dVdt=dVdrcdotdrdt
Como o enunciado dá drdt=-1045,cm/min, ao substituir r=25,cm temos
dVdt =4pi,(25)^2,l(-1045r) =4picdot625cdotl(-1045r) =,-25000pi45 =,-5000pi9cm^3!/,min

Resposta

dVdtl|r=25,cm=-5000pi9 cm^3!/,minapprox -1745,3 cm^3!/,min

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