Q 150 Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo à razão constante, passando de 30 cm para 20 cm em 45 minutos. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm . (Dica:
)
Passo 1
O enunciado diz que temos uma bola de neve esférica cujo raio
decresce a uma taxa constante, passando de
,cm para
,cm em
,minutos. Pede-se a variação do volume
no instante em que
,cm. O conteúdo é taxa de variação relacionada (“related rates”) em geometria de esfera.
Passo 2
Escrevemos a fórmula do volume de uma esfera em função de
:
Para relacionar
e
, usamos a derivada de
em relação a
e depois a regra da cadeia.
Passo 3
Calculamos
. Derivando
em relação a
, obtemos
Passo 4
Pela regra da cadeia,
Como o enunciado dá
,cm/min, ao substituir
,cm temos