1.1717 (IMPA)

Mostre que:
A_{i j} A_{i k}=\delta_{j k}
para matrizes ortogonais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz ortogonal A, vale
A_{i j} A_{i k}=\delta_{j k}.
Informações dadas e notação que vou usar:
  • A é uma matriz ortogonal, isto é, satisfaz \;A^{T}A=I\; (ou equivalentemente A^{-1}=A^{T}).
  • A_{ij} denota o elemento de A na i-ésima linha e j-ésima coluna.
  • \delta_{jk} é o delta de Kronecker: \delta_{jk}=1 se j=k e \delta_{jk}=0 se j\neq k.
  • Quando aparecer um índice repetido (como i em A_{ij}A_{ik}) entendemos a soma sobre esse índice: explicitamente \sum_{i}A_{ij}A_{ik}. Vou escrever a soma quando for útil.

Passo 2

Vou escrever a regra para o elemento (j,k) do produto de duas matrizes quaisquer B e C. Em componentes:
(BC)_{jk}=\sum_{m} B_{jm}\,C_{mk}.
Agora aplico isso ao produto \,A^{T}A. Para \,A^{T} vale (A^{T})_{jm}=A_{mj} (a transposição troca os índices). Portanto, usando a fórmula acima com B=A^{T} e C=A,
(A^{T}A)_{jk}=\sum_{m}(A^{T})_{jm}\,A_{mk}=\sum_{m}A_{mj}\,A_{mk}.

Passo 3

Na expressão do passo anterior podemos trocar o nome do índice de soma m para i (nomes de índices somados são apenas rótulos). Assim obtemos
(A^{T}A)_{jk}=\sum_{i}A_{i j}\,A_{i k}.
Como A é ortogonal sabemos que A^{T}A=I. Então o elemento (j,k) de A^{T}A é o elemento (j,k) da identidade, isto é (A^{T}A)_{jk}=\delta_{jk}. Juntando com a linha anterior:
\sum_{i}A_{i j}\,A_{i k}=\delta_{j k}.
Isto é exatamente a igualdade pedida (lembrando que a soma sobre i está implícita quando se escreve A_{ij}A_{ik} com i repetido).

Passo 4

Interpretação útil (visão geométrica, para ajudar a lembrar na prova): a coluna j de A é o vetor cujas componentes são A_{i j}. O produto \sum_{i}A_{i j}A_{i k} é o produto escalar entre as colunas j e k. A ortogonalidade de A significa que as colunas formam um conjunto ortonormal, logo o produto escalar entre colunas diferentes é 0 e o produto escalar de uma coluna por ela mesma é 1; isto é exatamente \delta_{jk}.
Exemplo numérico rápido (matriz de rotação 2\times2): \;A=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
Calcule \sum_{i}A_{i1}A_{i1}=\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 (caso j=k=1) e \sum_{i}A_{i1}A_{i2}=\cos\theta(-\sin\theta)+\sin\theta\cos\theta=0 (caso j=1,k=2), consistente com \delta_{jk}.]

Resposta

A_{i j}A_{i k}=\delta_{j k}

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