1.1717 (IMPA)
Mostre que:
para matrizes ortogonais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para uma matriz ortogonal
, vale
Informações dadas e notação que vou usar:
-
é uma matriz ortogonal, isto é, satisfaz (ou equivalentemente ). -
denota o elemento de na -ésima linha e -ésima coluna. -
é o delta de Kronecker: se e se . - Quando aparecer um índice repetido (como
em ) entendemos a soma sobre esse índice: explicitamente . Vou escrever a soma quando for útil.
Passo 2
Vou escrever a regra para o elemento
do produto de duas matrizes quaisquer
e
. Em componentes:
Agora aplico isso ao produto
. Para
vale
(a transposição troca os índices). Portanto, usando a fórmula acima com
e
,
Passo 3
Na expressão do passo anterior podemos trocar o nome do índice de soma
para
(nomes de índices somados são apenas rótulos). Assim obtemos
Como
é ortogonal sabemos que
. Então o elemento
de
é o elemento
da identidade, isto é
. Juntando com a linha anterior:
Isto é exatamente a igualdade pedida (lembrando que a soma sobre
está implícita quando se escreve
com
repetido).
Passo 4
Interpretação útil (visão geométrica, para ajudar a lembrar na prova): a coluna
de
é o vetor cujas componentes são
. O produto
é o produto escalar entre as colunas
e
. A ortogonalidade de
significa que as colunas formam um conjunto ortonormal, logo o produto escalar entre colunas diferentes é
e o produto escalar de uma coluna por ela mesma é
; isto é exatamente
.
Exemplo numérico rápido (matriz de rotação
):
Calcule (caso
) e
(caso
), consistente com
.]
Calcule