Q 152 Identificando a indeterminação, calcule cada limite abaixo usando a regra de L’Hôspital.
(e) lim x -infty x sen(5x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
limxto -infty xsinl(tfrac5xr)
usando a regra de L’Hôpital. Vamos precisar reescrever o produto como quociente e identificar a indeterminação.

Passo 2

Reescrevemos
xsinl(tfrac5xr)
como
sin(5/x)1/x
Quando xto -infty, temos sin(5/x)tosin(0)=0 e 1/xto0, configurando uma indeterminação do tipo 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de L’Hôpital, derivando numerador e denominador:
ddxl[sin(5/x)r] = cos(5/x)cdotddxl(tfrac5xr) = cos(5/x),l(-tfrac5x^2r),
ddxl[tfrac1xr] = -tfrac1x^2
Portanto,
limxto -inftysin(5/x)1/x = limxto -inftycos(5/x),(-5/x^2)-1/x^2 = limxto -infty5cos(5/x)

Passo 4

Como xto -infty faz 5/xto0, temos cos(5/x)to1. Logo,
limxto -infty5cos(5/x)=5

Resposta

5

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