153 Quais são os autovalores e os autovetores do operador derivada D: P_{2} \rightarrow P_{2} ?

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador derivada
D\colon P_{2}\to P_{2},\quad D\bigl(p(x)\bigr)=p'(x),
onde P_{2} é o espaço dos polinômios de grau até 2. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor, isto é, resolver
D\bigl(p(x)\bigr)=\lambda\,p(x),
procurando não-zero p\in P_{2} e escalar \lambda.

Passo 2

Escrevemos o polinômio genérico de grau até 2 como
p(x)=a\,x^{2}+b\,x+c,
com (a,b,c)\neq(0,0,0). Então
p'(x)=2a\,x+b.
A condição de autovalor/autovetor é
2a\,x+b=\lambda\bigl(a\,x^{2}+b\,x+c\bigr).

Passo 3

Igualamos coeficientes de potências iguais de x\). Da igualdade \[2a\,x+b = \lambda a\,x^{2} + \lambda b\,x + \lambda c
obtemos o sistema
\begin{cases} \lambda a = 0 &\text{(coeficiente de \(x^{2}),}\ \lambda b = 2a &(coeficiente de x),\ \lambda c = b &(termo independente). \end{cases}]

Passo 4

Para existir solução não-trivial (a,b,c):
  • Se a\neq0, da primeira equação \lambda=0 e da segunda 0\cdot b=2a a=0, contradição. Logo a=0.
  • Com a=0, a segunda equação vira \lambda b=0. Se b\neq0, então \lambda=0 e a terceira \lambda c=b 0=b, contradição. Logo b=0.
  • Sobram p(x)=c, com c\neq0. A terceira equação \lambda c=b=0 força \lambda=0.

Passo 5

Concluímos que o único autovalor é \lambda=0 (multiplicidade algébrica 3) e o espaço próprio associado é
E_{0} = \{\,p(x)=c : c\in\mathbb{R},\,c\neq0\},
isto é, os polinômios constantes.

Resposta

O único autovalor de D é \lambda=0 e seus autovetores são exatamente os polinômios constantes p(x)=c, c\neq0.

Exercícios relacionados