153 Quais são os autovalores e os autovetores do operador derivada
?
Passo 1
O enunciado pede os autovalores e autovetores do operador derivada
onde
é o espaço dos polinômios de grau até 2. Vamos usar a definição de autovalor e autovetor, isto é, resolver
procurando não-zero
e escalar
.
Passo 2
Escrevemos o polinômio genérico de grau até 2 como
com
. Então
A condição de autovalor/autovetor é
Passo 3
Igualamos coeficientes de potências iguais de
obtemos o sistema
),}\ \lambda b = 2a &(coeficiente de
),\ \lambda c = b &(termo independente). \end{cases}]
Passo 4
Para existir solução não-trivial
:
- Se
, da primeira equação e da segunda dá , contradição. Logo . - Com
, a segunda equação vira . Se , então e a terceira dá , contradição. Logo . - Sobram
, com . A terceira equação força .
Passo 5
Concluímos que o único autovalor é
(multiplicidade algébrica 3) e o espaço próprio associado é
isto é, os polinômios constantes.
Resposta
O único autovalor de
é
e seus autovetores são exatamente os polinômios constantes
,
.