Para quais valores de c \in \mathbb{R} as matrizes abaixo são diagonalizáveis?
Considere
A=\left[\begin{array}{llll} 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 3 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right] \(B=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & c \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]\)

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de c\in\mathbb{R} que tornam as duas matrizes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 3 & 0\\\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & c\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
diagonalizáveis. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: precisamos achar os autovalores, suas multiplicidades algébricas e as dimensões dos respectivos autoespaços (multiplicidades geométricas) e comparar.

Passo 2

Vamos começar por A. Note que A age no subespaço U=\mathrm{span}\{e_1,e_2,e_4\} como um operador de posto 1 com imagem gerada por (1,1,0,1), e sobre e_3 simplesmente vale 3e_3. Desse modo o polinômio característico de A é
\chi_A(\lambda)=(3-\lambda)^2\,\lambda^2,
ou seja, os autovalores são
\lambda=3\quad\text{(algébrica 2)}, \qquad \lambda=0\quad\text{(algébrica 2)}.éé

Passo 3

Agora checamos as multiplicidades geométricas:
  1. Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0. Dessas equações surge que
x_1=x_2=x_4,\quad x_3\text{ livre},
logo o autoespaço tem dimensão 2 (gerado por (1,1,0,1) e (0,0,1,0)).
2. Para \lambda=0 resolvemos Ax=0, o que impõe apenas x_1+x_2+x_4=0 e x_3=0, dando dimensão 2.
Como em ambos os casos a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, concluímos que A é diagonalizável (sem restrição em c, pois A não depende de c).

Passo 4

Agora para
B=\begin{pmatrix}1 & 1 & c\\\ 0 & 0 & 1\\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
vemos que é triangular superior, então seus autovalores são as entradas da diagonal:
\lambda=0\quad(\text{algébrica }1), \qquad \lambda=1\quad(\text{algébrica }2).éé

Passo 5

Para testar a diagonalização de B\) precisamos da multiplicidade geométrica de \(\lambda=1\). Resolvendo \((B-I)x=0\) obtemos o sistema \[\begin{cases} x_2 + c\,x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 + x_3 = 0, \end{cases}
que leva a x_3=x_2\] e \((1+c)x_2=0.
  • Se c\neq -1, então x_2=x_3=0 e sobra apenas x_1 livre, ou seja dimensão 1 (menor que 2).
  • Se c=-1, a primeira equação some e x_1,x_2 ficam livres com x_3=x_2, dando dimensão 2.
Portanto B é diagonalizável só quando c=-1.

Resposta

A é diagonalizável para todo c\in\mathbb{R}.
B é diagonalizável se, e somente se, c=-1.

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