diagonalizáveis. O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: precisamos achar os autovalores, suas multiplicidades algébricas e as dimensões dos respectivos autoespaços (multiplicidades geométricas) e comparar.
Passo 2
Vamos começar por A. Note que A age no subespaço U=\mathrm{span}\{e_1,e_2,e_4\} como um operador de posto 1 com imagem gerada por (1,1,0,1), e sobre e_3 simplesmente vale 3e_3. Desse modo o polinômio característico de A é
Para \lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0. Dessas equações surge que
x_1=x_2=x_4,\quad x_3\text{ livre},
logo o autoespaço tem dimensão 2 (gerado por (1,1,0,1) e (0,0,1,0)).
2. Para \lambda=0 resolvemos Ax=0, o que impõe apenas x_1+x_2+x_4=0 e x_3=0, dando dimensão 2.
Como em ambos os casos a multiplicidade geométrica coincide com a algébrica, concluímos que A é diagonalizável (sem restrição em c, pois A não depende de c).
Para testar a diagonalização de B\) precisamos da multiplicidade geométrica de \(\lambda=1\). Resolvendo \((B-I)x=0\) obtemos o sistema
\[\begin{cases} x_2 + c\,x_3 = 0,\\\\ -\,x_2 + x_3 = 0, \end{cases}
que leva a x_3=x_2\] e \((1+c)x_2=0.
Se c\neq -1, então x_2=x_3=0 e sobra apenas x_1 livre, ou seja dimensão 1 (menor que 2).
Se c=-1, a primeira equação some e x_1,x_2 ficam livres com x_3=x_2, dando dimensão 2.
Portanto B é diagonalizável só quando c=-1.
Resposta
A é diagonalizável para todo c\in\mathbb{R}. B é diagonalizável se, e somente se, c=-1.