Encontre uma matriz A tal que A^{3}=B, com
B=\left[\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2 \\\\ 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 2 & 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede uma matriz A tal que
A^{3}=B,
onde
B=\begin{pmatrix} 1 & -2 & -2\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
O conteúdo usado será diagonalização de matrizes e polinômios de matrizes: se B é diagonalizável com B=PDP^{-1}, então qualquer raiz cúbica de B pode ser escrita como A=P\,D^{1/3}P^{-1}. Em seguida, usaremos que, pelo Teorema de Cayley–Hamilton, A pode ser expresso como polinômio de grau \le1 em B.

Passo 2

Calculemos os autovalores de B. O polinômio característico é
\chi(\lambda)=\det\bigl(B-\lambda I\bigr) =(1-\lambda)^{2}(3-\lambda).
Logo, os autovalores são \lambda_{1}=1 (multiplicidade algébrica 2) e \lambda_{2}=3 (multiplicidade 1).
Para \lambda=1, resolve-se
(B-I)v=0\;\Longrightarrow\;v=(v_{1},v_{2},v_{3})\text{ com }v_{2}=-v_{3},
o que dá espaço próprio de dimensão 2. Para \lambda=3, encontra-se espaço próprio de dimensão 1. Como a soma das dimensões geométricas é 3, B é diagonalizável.

Passo 3

Se B=PDP^{-1} com
D=\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix},
uma raiz cúbica de B é
A=P\begin{pmatrix}1&0&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&\sqrt[3]{3}\end{pmatrix}P^{-1}.
Como o polinômio mínimo de B divide (\lambda-1)(\lambda-3), qualquer função de B pode ser escrita como polinômio de grau \le1:
A=a\,B+b\,I.

Passo 4

Precisamos de f(\lambda)=a\lambda+b tal que f(1)=1 e f(3)=\sqrt[3]{3}.
Isto é,
\begin{cases} a\cdot1+b=1,\\\ a\cdot3+b=\sqrt[3]{3}. \end{cases}
Subtraindo,
2a=\sqrt[3]{3}-1\quad\Longrightarrow\quad a=\frac{\sqrt[3]{3}-1}{2}, \quad b=1-a=\frac{3-\sqrt[3]{3}}{2}.

Passo 5

Logo
A =\frac{\sqrt[3]{3}-1}{2}\,B +\frac{3-\sqrt[3]{3}}{2}\,I
e, calculando entrada a entrada, obtém-se
A =\begin{pmatrix} 1 & 1-\sqrt[3]{3} & 1-\sqrt[3]{3}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & \sqrt[3]{3}-1 & \sqrt[3]{3} \end{pmatrix}.

Resposta

A=\begin{pmatrix} 1 & 1-\sqrt[3]{3} & 1-\sqrt[3]{3}\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & \sqrt[3]{3}-1 & \sqrt[3]{3} \end{pmatrix},
que de fato satisfaz A^{3}=B.

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