3-153 The volume of a rock is to be determined without using any volume measurement devices. Explain how you would do this with a waterproof spring scale.

Passo 1

O que o problema pede: determinar o volume de uma pedra sem usar instrumentos de medição de volume, tendo apenas uma balança de mola à prova d’água.
Informações dadas (implícitas): tenho a pedra, tenho uma balança de mola que funciona na água, e posso usar um recipiente com água (por exemplo, um balde ou pia) para submergir a pedra. A balança pode medir força (newton) ou mostrar um valor em “massa” (kg ou g) com base na força gravitacional.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática passo a passo): arquimedes e empuxo.
  • Empuxo é a força para cima que um fluido exerce sobre um corpo submerso. Arquimedes diz que o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Isso é a chave.
  • Se eu submergir totalmente a pedra em água, o volume de água deslocado é exatamente o volume da pedra. Denotando: \rho_{\text{água}}á = densidade da água, V = volume da pedra, g = aceleração da gravidade, o empuxo B é
B=\rho_{\text{água}}\,V\,g.á
Expliquei cada símbolo: \rho_{\text{água}}á em \mathrm{kg/m^3} (na prática \approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} a 4^\circ\mathrm{C}, e cerca de 997\\ \mathrm{kg/m^3} a 25^\circ\mathrm{C}); V em \mathrm{m^3}; g em \mathrm{m/s^2} (use g\approx 9,81\\ \mathrm{m/s^2} se precisar).

Passo 3

Como a balança entra na história (intuição):
  • Quando eu peso a pedra no ar, a balança marca o peso (força para baixo) da pedra, que chamarei W_{\text{ar}}. Esse peso vale W_{\text{ar}}=m_{\text{pedra}}\,g.
  • Quando eu submergir a pedra na água e a pendurar na mesma balança (sem tocar as paredes ou fundo do recipiente), a leitura diminui porque a água empurra para cima com força B. A leitura aparente na balança será W_{\text{sub}}=W_{\text{ar}}-B.
  • Portanto o empuxo é a diferença entre as duas leituras:
B = W_{\text{ar}} - W_{\text{sub}}.

Passo 4

Unindo as fórmulas para achar o volume (derivação):
Partindo de B=\rho_{\text{água}}Vgá e B=W_{\text{ar}}-W_{\text{sub}}, temos
\rho_{\text{água}}\,V\,g = W_{\text{ar}}-W_{\text{sub}}.á
Isolando V,
V = \frac{W_{\text{ar}}-W_{\text{sub}}}{\rho_{\text{água}}\,g}.á
Explicação de unidades: se W_{\text{ar}} e W_{\text{sub}} estiverem em newtons ( \mathrm{N}), g em \mathrm{m/s^2} e \rho_{\text{água}}á em \mathrm{kg/m^3}, o resultado vem em \mathrm{m^3}.

Passo 5

Caso prático frequente: balança mostra “massa” (kg ou g) em vez de força. Isso acontece porque muitas balanças exibem m = W/g. Se as leituras da balança forem m_{\text{ar}} e m_{\text{sub}} (em kg), então
W_{\text{ar}}-W_{\text{sub}} = (m_{\text{ar}}-m_{\text{sub}})\,g.
Substituindo na fórmula de V o g cancela:
V = \frac{(m_{\text{ar}}-m_{\text{sub}})\,g}{\rho_{\text{água}}\,g} = \frac{m_{\text{ar}}-m_{\text{sub}}}{\rho_{\text{água}}}.áá
Isso é muito prático: se a balança lê em quilogramas, basta dividir a diferença das leituras pela densidade da água para obter o volume em \mathrm{m^3}. Se preferir em litros, lembre que 1\\ \mathrm{m^3}=1000\\ \mathrm{L}, e para \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á a relação fica ainda mais simples.

Passo 6

Procedimento experimental passo a passo (o que fazer exatamente na prova/prática):
  1. Zeramento: assegure que a balança está zerada (sem carga).
  2. Pese a pedra no ar: pendure a pedra na balança de mola e anote a leitura W_{\text{ar}} (ou m_{\text{ar}} se a balança mostrar massa). Registre unidade.
  3. Prepare um recipiente com água suficiente para submergir totalmente a pedra sem tocar o fundo/paredes.
  4. Submerja a pedra totalmente, pendurada pela balança, sem que a pedra toque o recipiente; espere calma até estabilizar e anote W_{\text{sub}} (ou m_{\text{sub}}). Cuidado: remova bolhas de ar que possam aderir à pedra (elas diminuem o empuxo aparente e geram erro).
  5. Calcule a diferença \Delta W = W_{\text{ar}}-W_{\text{sub}} (ou \Delta m = m_{\text{ar}}-m_{\text{sub}}).
  6. Use a fórmula correspondente: se trabalhou com forças,
V = \frac{\Delta W}{\rho_{\text{água}}\,g},á
se trabalhou com leituras de massa,
V = \frac{\Delta m}{\rho_{\text{água}}}.á
  1. Escolha \rho_{\text{água}}á apropriada (para provas normalmente use \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á ou \rho_{\text{água}}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^3}á, dependendo das unidades desejadas). Convertendo, se \Delta m estiver em gramas e \rho em \mathrm{g/cm^3}, o volume sai em \mathrm{cm^3}.

Passo 7

Exemplo numérico ilustrativo (mostra como fazer na prova): suponha que a balança dá massas: m_{\text{ar}}=2{,}50\\ \mathrm{kg} e m_{\text{sub}}=1{,}80\\ \mathrm{kg}. Então \Delta m=0{,}70\\ \mathrm{kg}. Usando \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3}á,
V=\frac{0{,}70\\ \mathrm{kg}}{1000\\ \mathrm{kg/m^3}}=0{,}00070\\ \mathrm{m^3}=0{,}70\\ \mathrm{L}=700\\ \mathrm{cm^3}.
Comentário prático: vemos que o cálculo é fácil e sem precisar de g porque a balança mostrou massas.

Passo 8

Erros comuns e dicas para reduzir erros (pra nota da prova e pra prática):
  • Não deixar a pedra tocar o fundo ou as laterais do recipiente.
  • Tirar bolhas de ar da pedra antes de ler; uma escovadinha rápida submersa ou molhar bem ajuda.
  • Usar água à temperatura ambiente e, se quiser alta precisão, usar a densidade da água correspondente à temperatura.
  • Evitar movimentos que causem oscilações da leitura; espere estabilizar.
  • Verificar se a balança realmente é à prova d’água e está calibrada.

Resposta

V = \frac{W_{\text{ar}}-W_{\text{sub}}}{\rho_{\text{água}}\,g}á
\text{(ou, se a balança dá massas) } \; V = \frac{m_{\text{ar}}-m_{\text{sub}}}{\rho_{\text{água}}}çáá

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