Uma bastão de cobre puro, com 0,01m de diâmetro, está fixado em uma superfície mantida a temperatura constante de
. A superficie do bastão está exposta ao ar ambiente a
com um coeficiente de transferência de calor por convecção de
. Determinar :
a) A temperatura em
, admitindo comprimento infinito da aleta e a respectiva perda de calor no bastão. (Tabela A1:
para
)
b) Estimar o comprimento que deve ter o bastão para que o calor transferido, considerando aleta com perda de calor desprezível na ponta, corresponda a 99% do calor transferido pela aleta de comprimento infinito.
a) A temperatura em
b) Estimar o comprimento que deve ter o bastão para que o calor transferido, considerando aleta com perda de calor desprezível na ponta, corresponda a 99% do calor transferido pela aleta de comprimento infinito.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e dá várias informações. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas:
- (a) Calcular a temperatura no ponto
ao longo do bastão, admitindo que ele é uma aleta de comprimento infinito, e calcular a respectiva perda de calor (potência) do bastão. - (b) Estimar o comprimento
necessário para que, supondo a ponta praticamente isolada (perda de calor desprezível na ponta), o calor transferido pela aleta com esse comprimento corresponda a do calor transferido pela aleta de comprimento infinito.
Dados fornecidos:
- Diâmetro do bastão:
(logo raio ). - Temperatura da superfície fixa (base da aleta):
. - Temperatura do ar ambiente:
. - Coeficiente de convecção:
. - Condutividade térmica do cobre (para temperatura média):
(fornecido pela Tabela). - A aleta é cilíndrica de seção constante (bastão cilíndrico). Vou usar as fórmulas padrão para aletas de seção constante e para aleta infinita e para aleta finita com ponta isolada.
Passo 2
Calcular área da seção transversal
e perímetro molhado
da aleta cilíndrica — esses entram na equação característica.
Definições:
Substituindo
:
Observação didática: para um cilindro de raio
, a razão
simplifica muito:
isso facilita cálculos posteriores.
Passo 3
Introduzir a constante
que aparece na equação diferencial da aleta e explicar o que ela representa.
Definição:
Explicação:
tem dimensão de
e mede a “razão” entre o resfriamento por convecção na superfície (com
) e a condução interna na aleta (com
). Quanto maior
, mais rápido a temperatura decai com
.
Usando a simplificação
:
Substituindo números (
,
,
):
Passo 4
Temperatura ao longo da aleta infinita e cálculo em
.
Teoria: para uma aleta de seção constante e comprimento infinito com base à temperatura
e fluido a
, a solução da equação de energia é uma decaimento exponencial:
Portanto
Substituindo
,
,
e
:
Comentário didático: a temperatura já caiu bastante em 5 cm — a constante
controla essa queda exponencial.
Passo 5
Cálculo da perda de calor total da aleta de comprimento infinito (potência).
Teoria: para aleta infinita, a taxa de calor retirada da base é
(Alternativamente pode ser escrito
; as expressões são equivalentes porque
.)
Já calculamos
,
e
. Calcule
e depois
.
Cálculo:
Multiplicando:
Interpretação: com base a
e ar a
, a aleta cilíndrica (infinita) levaria cerca de
.
Passo 6
Explicar a relação entre aleta infinita e aleta finita com ponta isolada e a fórmula usada para a parte (b).
Teoria: para uma aleta de comprimento finito
com ponta praticamente isolada (fluxo na ponta desprezível), a razão entre o fluxo real
e o fluxo da aleta infinita
é
Isso vem da solução da ODE com condição de contorno de ponta isolada. Quando
é grande,
e a aleta finita se aproxima da aleta infinita.
Para atingir
do calor de
precisamos
Passo 7
Determinar
tal que
.
Resolver:
Cálculo numérico:
Logo
Usando
:
Interpretação: com aproximadamente
de comprimento, a aleta com ponta isolada já dá cerca de
do calor que uma aleta teoricamente infinita entregaria.