Uma bastão de cobre puro, com 0,01m de diâmetro, está fixado em uma superfície mantida a temperatura constante de 120^{\circ} \mathrm{C}. A superficie do bastão está exposta ao ar ambiente a 25^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor por convecção de \mathbf{1 1 0 W} \boldsymbol{/} \boldsymbol{(} \mathbf{m}^{\mathbf{2}} \mathbf{K} \boldsymbol{)}. Determinar :
a) A temperatura em \mathbf{x}=\mathbf{0 , 0 5 m}, admitindo comprimento infinito da aleta e a respectiva perda de calor no bastão. (Tabela A1: \mathrm{k}=398,4 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) para \mathrm{T}_{\text {médio }}é )
b) Estimar o comprimento que deve ter o bastão para que o calor transferido, considerando aleta com perda de calor desprezível na ponta, corresponda a 99% do calor transferido pela aleta de comprimento infinito.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e dá várias informações. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas:
  • (a) Calcular a temperatura no ponto \,x=0,05\\ \mathrm{m}\, ao longo do bastão, admitindo que ele é uma aleta de comprimento infinito, e calcular a respectiva perda de calor (potência) do bastão.
  • (b) Estimar o comprimento L necessário para que, supondo a ponta praticamente isolada (perda de calor desprezível na ponta), o calor transferido pela aleta com esse comprimento corresponda a 99\% do calor transferido pela aleta de comprimento infinito.
Dados fornecidos:
  • Diâmetro do bastão: \,d=0,01\\ \mathrm{m}\, (logo raio \,r=0,005\\ \mathrm{m}\,).
  • Temperatura da superfície fixa (base da aleta): \,T_b=120^\circ\mathrm{C}\,.
  • Temperatura do ar ambiente: \,T_\infty=25^\circ\mathrm{C}\,.
  • Coeficiente de convecção: \,h=110\\ \mathrm{W/(m^2K)}\,.
  • Condutividade térmica do cobre (para temperatura média): \,k=398{,}4\\ \mathrm{W/(mK)}\, (fornecido pela Tabela).
  • A aleta é cilíndrica de seção constante (bastão cilíndrico). Vou usar as fórmulas padrão para aletas de seção constante e para aleta infinita e para aleta finita com ponta isolada.

Passo 2

Calcular área da seção transversal \,A_c\, e perímetro molhado \,P\, da aleta cilíndrica — esses entram na equação característica.
Definições:
A_c = \pi r^2,\qquad P = 2\pi r.
Substituindo r=0{,}005\\ \mathrm{m}:
A_c = \pi(0{,}005)^2 = \pi\cdot 25\times 10^{-6} = 7{,}8539816\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
P = 2\pi(0{,}005) = 0{,}031415926\\ \mathrm{m}.
Observação didática: para um cilindro de raio r, a razão P/A_c simplifica muito:
\frac{P}{A_c}=\frac{2\pi r}{\pi r^2}=\frac{2}{r},
isso facilita cálculos posteriores.

Passo 3

Introduzir a constante \,m\, que aparece na equação diferencial da aleta e explicar o que ela representa.
Definição:
m = \sqrt{\frac{hP}{kA_c}}.
Explicação: \,m tem dimensão de \mathrm{m^{-1}} e mede a “razão” entre o resfriamento por convecção na superfície (com hP) e a condução interna na aleta (com kA_c). Quanto maior m, mais rápido a temperatura decai com x.
Usando a simplificação \,P/A_c=2/r\,:
m = \sqrt{\frac{h(2/r)}{k}} = \sqrt{\frac{2h}{k\,r}}.
Substituindo números ( h=110, k=398{,}4, r=0{,}005):
m^2 = \frac{2\cdot 110}{398{,}4\cdot 0{,}005}=\frac{220}{1{,}992}=110{,}44\ldots
m=\sqrt{110{,}44\ldots}=10{,}51\\ \mathrm{m^{-1}}\quad(\text{aprox. }10{,}51\\ \mathrm{m^{-1}}).

Passo 4

Temperatura ao longo da aleta infinita e cálculo em \,x=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Teoria: para uma aleta de seção constante e comprimento infinito com base à temperatura \,T_b e fluido a \,T_\infty, a solução da equação de energia é uma decaimento exponencial:
\frac{T(x)-T_\infty}{T_b-T_\infty} = e^{-m x}.
Portanto
T(x)=T_\infty + (T_b-T_\infty)\,e^{-m x}.
Substituindo \,T_b=120^\circ\mathrm{C}, \,T_\infty=25^\circ\mathrm{C}, \,m=10{,}51\\ \mathrm{m^{-1}} e x=0{,}05\\ \mathrm{m}:
m x = 10{,}51\times 0{,}05 = 0{,}5255.
e^{-m x}=e^{-0{,}5255}\approx 0{,}591.
T(0{,}05)=25 + 95\cdot 0{,}591 \approx 25 + 56{,}1 = 81{,}1^\circ\mathrm{C}.
Comentário didático: a temperatura já caiu bastante em 5 cm — a constante m controla essa queda exponencial.

Passo 5

Cálculo da perda de calor total da aleta de comprimento infinito (potência).
Teoria: para aleta infinita, a taxa de calor retirada da base é
q_{\infty} = m\,k\,A_c\,(T_b-T_\infty).
(Alternativamente pode ser escrito \sqrt{hPkA_c}(T_b-T_\infty); as expressões são equivalentes porque m=\sqrt{hP/(kA_c)}.)
Já calculamos m, k e A_c. Calcule kA_c e depois q_\infty.
Cálculo:
kA_c = 398{,}4\times 7{,}8539816\times 10^{-5}\approx 0{,}03129\\ \mathrm{W/K}.
q_{\infty} = m\cdot (kA_c)\cdot (T_b-T_\infty) \approx 10{,}51 \times 0{,}03129 \times 95.
Multiplicando:
10{,}51\times 0{,}03129 \approx 0{,}329,
q_{\infty}\approx 0{,}329\times 95 \approx 31{,}3\\ \mathrm{W}.
Interpretação: com base a 120^\circ\mathrm{C} e ar a 25^\circ\mathrm{C}, a aleta cilíndrica (infinita) levaria cerca de 31{,}3\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Explicar a relação entre aleta infinita e aleta finita com ponta isolada e a fórmula usada para a parte (b).
Teoria: para uma aleta de comprimento finito L com ponta praticamente isolada (fluxo na ponta desprezível), a razão entre o fluxo real q_L e o fluxo da aleta infinita q_\infty é
\frac{q_L}{q_\infty} = \operatorname{tanh}(mL).
Isso vem da solução da ODE com condição de contorno de ponta isolada. Quando mL é grande, \operatorname{tanh}(mL)\to 1 e a aleta finita se aproxima da aleta infinita.
Para atingir 99\% do calor de \,q_\infty precisamos
\operatorname{tanh}(mL)=0{,}99.

Passo 7

Determinar L tal que \operatorname{tanh}(mL)=0{,}99.
Resolver:
mL = \operatorname{arctanh}(0{,}99)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1+0{,}99}{1-0{,}99}\right)=\frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{1{,}99}{0{,}01}\right)=\frac{1}{2}\ln(199).
Cálculo numérico:
\operatorname{arctanh}(0{,}99)\approx 2{,}64665.
Logo
L = \frac{2{,}64665}{m}.
Usando m\approx 10{,}51\\ \mathrm{m^{-1}}:
L \approx \frac{2{,}64665}{10{,}51}\approx 0{,}252\\ \mathrm{m}.
Interpretação: com aproximadamente 25{,}2\\ \mathrm{cm} de comprimento, a aleta com ponta isolada já dá cerca de 99\% do calor que uma aleta teoricamente infinita entregaria.

Resposta

T(0{,}05\\ \mathrm{m}) \approx 81{,}1^\circ\mathrm{C}
q_{\infty} \approx 31{,}3\\ \mathrm{W}
L_{99\%} \approx 0{,}252\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados