A
-diameter,
-high vertical cylinder is completely filled with gasoline whose density is
. The tank is now rotated about its vertical axis at a rate of 90 rpm , while being accelerated upward at
. Determine
the difference between the pressures at the center and the edge of the bottom surface.
the difference between the pressures at the center and the edge of the bottom surface.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a diferença entre as pressões no centro e na borda da superfície inferior (o fundo) de um cilindro vertical inteiramente cheio de gasolina, que gira e é acelerado para cima. Informações dadas (retirei o diâmetro e a altura da imagem fornecida):
- diâmetro do cilindro:
(logo o raio é ) - altura do líquido:
(a altura não será necessária para a diferença radial de pressão, mas estava na figura) - densidade da gasolina:
- o tanque gira a
(rotações por minuto) - o tanque é acelerado para cima com aceleração
- pede-se: diferença entre a pressão no centro do fundo e a pressão na borda do fundo (ou seja,
).
Passo 2
Escolha do método (por que usar este método): o fluido gira com o tanque e, no referencial do tanque (referencial não-inercial), o fluido está em repouso estacionário. Nesse referencial aparecendo forças fictícias, a pressão satisfaz uma relação análoga à hidroestática, mas com duas contribuições de aceleração: a aceleração radial centrífuga e a aceleração vertical efetiva devido à gravidade somada à aceleração do tanque. Esse método é o mais direto para obter a distribuição de pressão; outras abordagens (por exemplo, trabalhar no referencial inercial com velocidades e termos de aceleração convectiva) são mais complicadas para este problema e desnecessárias aqui.
Passo 3
Escrevendo a equação de equilíbrio de forças no referencial do tanque (para o fluido em repouso relativo ao tanque), a variação espacial da pressão é dada por
onde
é a densidade e
é a aceleração efetiva por unidade de massa imposta ao fluido (forças por massa). Aqui existem duas contribuições: a aceleração centrífuga radial
para fora e a aceleração vertical para baixo
(pois a aceleração do tanque para cima produz, no referencial do tanque, uma força fictícia para baixo). Em coordenadas cilíndricas (r radial, z vertical para cima) isso se escreve componente a componente:
Explicação dos símbolos:
é a velocidade angular em
,
é a distância ao eixo (em metros),
é a gravidade (
), e
é a aceleração para cima do tanque (
). A equação radial diz que a pressão cresce para fora devido à força centrífuga; a equação vertical é a análoga hidroestática com gravidade aumentada para
.
Passo 4
Queremos a diferença entre a pressão na borda (
) e no centro (
) do fundo, ambos no mesmo nível vertical, portanto a variação vertical
não muda a diferença radial (a parcela vertical é a mesma para ambos pontos). Integramos a equação radial de
até
:
Portanto a diferença pedida é
Observação didática: note que a aceleração vertical (
) afecta a variação vertical da pressão, mas como comparamos dois pontos ao mesmo nível
ela não entra na diferença radial.
Passo 5
Agora calculamos numericamente. Primeiro convertemos a rotação de
para
. Para
:
Cada revolução tem
rad, logo
Passo 6
Substituímos na fórmula
com
,
e
:
Calcule passo a passo:
Usando
:
Arredondando com três algarismos significativos obtemos
.
Passo 7
Interpretação final e sinal: o resultado positivo significa que a pressão na borda do fundo é maior que a pressão no centro do fundo por aproximadamente
. Isto vem da aceleração centrífuga que “empurra” o fluido para a borda. A aceleração vertical para cima (
) não alterou a diferença radial porque ambos pontos comparados estão no mesmo nível vertical.