Q 155 Dada a função
(a) verifique que ela anula-se nas extremidades do intervalo
e (b) que não existe
tal que
, ou seja, a derivada não se anula neste intervalo. (c) Explique por que o teorema de Rolle não pode ser aplicado.
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede:
(a) mostrar que e
,
(b) verificar que não existe com
,
(c) explicar por que o Teorema de Rolle não vale.
Vamos usar cálculo de valor de função nas extremidades, derivação de potência fracionária e as condições do Teorema de Rolle.
(a) mostrar que
(b) verificar que não existe
(c) explicar por que o Teorema de Rolle não vale.
Vamos usar cálculo de valor de função nas extremidades, derivação de potência fracionária e as condições do Teorema de Rolle.
Passo 2
Para
temos
logo
Passo 3
Reescrevendo
, podemos derivar para
:
se ,
se
então
se
,
então
Passo 4
Em
temos
.
Em temos
.
Em nenhum ponto de a derivada muda de sinal passando por zero, pois ela não se anula em
nem em
.
Em
Em nenhum ponto de
Passo 5
Note que em
a derivada não existe:
os limites laterais de são
(para
) e
(para
).
Logo não é diferenciável em toda a parte interna
.
os limites laterais de
Logo
Passo 6
O Teorema de Rolle exige que
seja contínua em
(ok) e diferenciável em
(falha em
).
Como falta diferenciabilidade em todo o intervalo aberto, não podemos aplicar Rolle.
Como falta diferenciabilidade em todo o intervalo aberto, não podemos aplicar Rolle.
Resposta
(a)
e
.
(b) Para ,
; para
,
. Logo não existe
com
.
(c) O Teorema de Rolle não vale porque não é diferenciável em
, falhando a condição de diferenciabilidade em
.
(b) Para
(c) O Teorema de Rolle não vale porque