Q 155 Dada a função f(x)=1-raiz[5]x^4 (a) verifique que ela anula-se nas extremidades do intervalo [-1,1] e (b) que não existe c in(-1,1) tal que f^prime(c)=0, ou seja, a derivada não se anula neste intervalo. (c) Explique por que o teorema de Rolle não pode ser aplicado.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 1 - raiz[5]x^4
no intervalo [-1,1] e pede:
(a) mostrar que f(-1)=0 e f(1)=0,
(b) verificar que não existe cin(-1,1) com f'(c)=0,
(c) explicar por que o Teorema de Rolle não vale.
Vamos usar cálculo de valor de função nas extremidades, derivação de potência fracionária e as condições do Teorema de Rolle.

Passo 2

Para x=pm1 temos
raiz[5](pm1)^4 = raiz[5]1 = 1,
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f(pm1) = 1 - 1 = 0

Passo 3

Reescrevendo raiz[5]x^4 = |x|^4/5, podemos derivar para xneq0:
se x>0,
ddx|x|^4/5 = 45,x^-1/5,
então
f'(x) = -45,x^-1/5(x>0)
se x<0,
|x|^4/5=(-x)^4/5,ddx(-x)^4/5=45(-x)^-1/5(-1)= -45|x|^-1/5,
então
f'(x) = -l(-tfrac45|x|^-1/5r)=+45|x|^-1/5(x<0)

Passo 4

Em (0,1) temos f'(x)=-45x^-1/5<0.
Em (-1,0) temos f'(x)=+45|x|^-1/5>0.
Em nenhum ponto de (-1,1) a derivada muda de sinal passando por zero, pois ela não se anula em ,( -1,0) nem em (0,1).

Passo 5

Note que em x=0 a derivada não existe:
os limites laterais de f(h)-f(0)h são -infty (para hto0^+) e +infty (para hto0^-).
Logo f não é diferenciável em toda a parte interna (-1,1).

Passo 6

O Teorema de Rolle exige que f seja contínua em [-1,1] (ok) e diferenciável em (-1,1) (falha em x=0).
Como falta diferenciabilidade em todo o intervalo aberto, não podemos aplicar Rolle.

Resposta

(a) f(-1)=0 e f(1)=0.
(b) Para x>0, f'(x)=-tfrac45x^-1/5<0; para x<0, f'(x)=+tfrac45|x|^-1/5>0. Logo não existe cin(-1,1) com f'(c)=0.
(c) O Teorema de Rolle não vale porque f não é diferenciável em x=0, falhando a condição de diferenciabilidade em (-1,1).

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