4.8M Calcule o momento de inércia da superfície homogênea em torno do eixo indicado. Em cada caso admita que a densidade superficial de massa é .
(a) é a porção do cilindro , que jaz entre as folhas do cone ; Eixo .
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma superfície homogênea em torno do eixo . A superfície é
limitada pelas folhas do cone
com densidade superficial . Para uma superfície , o momento de inércia em relação ao eixo é
logo precisaremos parametrizar a superfície, obter , os limites e calcular essa integral.
Passo 2
Reescrevemos a equação do cilindro como
ou seja, um cilindro de raio com eixo paralelo a e centrado em no plano . Uma parametrização natural é
com e entre as duas folhas do cone.
Passo 3
Calculamos
logo
ou seja dS=dtheta,dz. A distância ao eixo x é raizy^2+z^2, então o integrando é y^2+z^2=sin^2theta+z^2. As folhas do cone dão
Como h=raiz2+2costheta=2lvertcos(tfractheta2)rvert, segue
Ix =integral0^2pil(2h,sin^2theta+tfrac2h^33r),dtheta =integral0^2pil(4sin^2theta,lvertcos(tfractheta2)rvert +tfrac163,lvertcos(tfractheta2)rvert^3r),dtheta
Passo 5
Para eliminar o valor absoluto, fazemos a mudança u=theta/2, então theta=2u, dtheta=2,du, e