4.8M Calcule o momento de inércia da superfície homogênea S em torno do eixo indicado. Em cada caso admita que a densidade superficial de massa é rho equiv 1.
(a) S é a porção do cilindro x^2+y^2=2 x, que jaz entre as folhas do cone x^2+y^2=z^2; Eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma superfície homogênea S em torno do eixo x. A superfície é
x^2+y^2=2x
limitada pelas folhas do cone
x^2+y^2=z^2,
com densidade superficial rhoequiv1. Para uma superfície S, o momento de inércia em relação ao eixo x é
Ix=integral duplaS(y^2+z^2),rho,dS
logo precisaremos parametrizar a superfície, obter dS, os limites e calcular essa integral.

Passo 2

Reescrevemos a equação do cilindro como
(x-1)^2+y^2=1,
ou seja, um cilindro de raio 1 com eixo paralelo a z e centrado em (1,0) no plano xy. Uma parametrização natural é
r(theta,z)=l(1+costheta,;sintheta,;zr),
com thetain[0,2pi] e z entre as duas folhas do cone.

Passo 3

Calculamos
rtheta=(-sintheta,costheta,0), rz=(0,0,1),
logo
llvertrthetatimesrzrrvert =llvert(-sintheta,costheta,0)rrvert=1,
ou seja dS=dtheta,dz. A distância ao eixo x é raizy^2+z^2, então o integrando é y^2+z^2=sin^2theta+z^2. As folhas do cone dão
z=pmraizx^2+y^2 =pmraiz(1+costheta)^2+sin^2theta =pmraiz2+2costheta
Portanto
Ix =integral0^2piintegral-raiz2+2costheta^raiz2+2costheta l(sin^2theta+z^2r),dz,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em z: chamando h=raiz2+2costheta,
integral-h^hl(sin^2theta+z^2r),dz =underbrace2h,sin^2thetaintegralsin^2theta,dz +underbrace2h^33integral z^2,dz
Como h=raiz2+2costheta=2lvertcos(tfractheta2)rvert, segue
Ix =integral0^2pil(2h,sin^2theta+tfrac2h^33r),dtheta =integral0^2pil(4sin^2theta,lvertcos(tfractheta2)rvert +tfrac163,lvertcos(tfractheta2)rvert^3r),dtheta

Passo 5

Para eliminar o valor absoluto, fazemos a mudança u=theta/2, então theta=2u, dtheta=2,du, e
sin^2theta=sin^2(2u)=4sin^2ucos^2u, lvertcos(tfractheta2)rvert=lvertcos urvert
O integral torna-se
Ix =32integral0^pisin^2ucos^2u,lvertcos urvert,du +323integral0^pilvertcos urvert^3,du
Pela simetria em uin[0,pi] podemos reduzir cada um a duas cópias de integrais em [0,tfracpi2].

Passo 6

Definimos
b1=integral0^pi/2sin^2u,cos^3u,du, b2=integral0^pi/2cos^3u,du
Para b2 usemos cos^3u=cos u(1-sin^2u) com s=sin u, ds=cos u,du:
b2=integral0^1(1-s^2),ds =l[s-tfracs^33r]0^1 =1-tfrac13=tfrac23
Para b1 fazemos t=sin u, dt=cos u,du, cos^2u=1-t^2:
b1=integral0^1t^2(1-t^2),dt =l[tfract^33-tfract^55r]0^1 =tfrac13-tfrac15=tfrac215

Passo 7

Voltando a Ix, a simetria duplicou cada integral em [0,tfracpi2], ficando
Ix =64,b1+643,b2 =64cdottfrac215+643cdottfrac23 =12815+1289 =102445

Resposta

Ix=102445

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