Suponha que
seja derivável, com
, e que
seja crescente. Mostre que a função
definida por
é crescente em
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
diferenciável com
e diz que
é crescente em
. Queremos mostrar que
é crescente em
. Para isso, vamos calcular
e provar que
usando o fato de que
é monotona.
Passo 2
Calculamos a derivada de
pelo quociente:
Portanto, para mostrar que
basta provar que
ou seja,
Passo 3
Como
é diferenciável em
e
, vale a fórmula do integral de uma derivada:
E, como
é crescente, para todo
temos
. Logo
Assim,
, o que implica
para todo
.
Resposta
A função
é crescente em
porque sua derivada satisfaz
.