Suponha que f:[0, infty) R seja derivável, com f(0)=0, e que f^prime:(0, infty) R seja crescente. Mostre que a função g:(0, infty) R definida por g(x)=f(x)x é crescente em (0, infty).

Passo 1

O enunciado dá uma função f:[0,infty)toR diferenciável com f(0)=0 e diz que f' é crescente em (0,infty). Queremos mostrar que
g(x)=f(x)x
é crescente em (0,infty). Para isso, vamos calcular g'(x) e provar que g'(x)>=0 usando o fato de que f' é monotona.

Passo 2

Calculamos a derivada de g pelo quociente:
g'(x) =x,f'(x)-f(x)x^2
Portanto, para mostrar que g'(x)>=0 basta provar que
x,f'(x)-f(x)>=0,
ou seja,
f(x)<= x,f'(x)

Passo 3

Como f é diferenciável em [0,x] e f(0)=0, vale a fórmula do integral de uma derivada:
f(x)-f(0)=integral0^xf'(t),dt Longrightarrow f(x)=integral0^xf'(t),dt
E, como f' é crescente, para todo tin[0,x] temos f'(t)<= f'(x). Logo
f(x) =integral0^xf'(t),dt <=integral0^xf'(x),dt =x,f'(x)
Assim, x,f'(x)-f(x)>=0, o que implica g'(x)>=0 para todo x>0.

Resposta

A função g(x)=tfracf(x)x é crescente em (0,infty) porque sua derivada satisfaz g'(x)>=0.

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