Calcule a derivada de primeira ordem de cada uma das funções abaixo.
f(x)=x^2 3^x sen x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
f(x)=x^2,3^,xsin x
O que vamos precisar: regra do produto (pois é x^2 vezes 3^xsin x), a derivada de uma exponencial de base fixa a^u(x) (regra da cadeia) e a derivada do produto xsin x.

Passo 2

Aplicando a regra do produto em f(x)=u(x),v(x) com u(x)=x^2 e v(x)=3^,xsin x, temos
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x) =2x;3^,xsin x+x^2;v'(x)

Passo 3

Para encontrar v'(x) com v(x)=3^,u(x) e u(x)=xsin x, usamos
ddxa^u(x)=a^u(x)ln(a),l(u'(x)r)
Então
v'(x)=3^,xsin x,ln(3),l(u'(x)r)

Passo 4

Agora derivamos u(x)=xsin x usando novamente a regra do produto:
u'(x)=ddx(x),sin x+x,ddx(sin x) =1cdotsin x + xcos x =sin x + xcos x

Passo 5

Substituindo v'(x) e u'(x) em f'(x), obtemos
f'(x) =2x,3^,xsin x +x^2l[3^,xsin xln(3),(sin x + xcos x)r]
e fatorando 3^,xsin x:
f'(x) =3^,xsin xl(2x + x^2ln(3),(sin x + xcos x)r)

Resposta

f'(x) =3^,xsin xl(2x + x^2ln(3),(sin x + xcos x)r)

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