P6.143 Um tubo liso de 10 cm de diâmetro contém uma placa de orifício com tomadas D: \frac{1}{2} D e \beta=0,5. A queda de pressão medida no orifício é 75 kPa para escoamento de água a 20^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a vazão em \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}. Qual é a perda de carga não recuperada?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
D = 0{,}10\\ \text{m}
\beta = 0{,}5 \quad\text{(logo } d=\beta D=0{,}05\\ \text{m)}
A placa de orifício tem tomadas a D (montante) e D/2 (jusante). A queda de pressão medida entre essas tomadas é
\Delta p_{\text{med}} = p_1 - p_2 = 75\\ \text{kPa} = 75\,000\\ \text{Pa}.
A fluido é água a 20^\circ\mathrm{C}. Vou usar a densidade
\rho = 998\\ \text{kg/m}^3
(e g=9{,}81\\ \text{m/s}^2 quando precisar).
Perguntas:
  1. Calcular a vazão Q em \text{m}^3/\text{h}.
  2. Calcular a perda de carga não recuperada (ou seja, a perda permanente entre o ponto a montante e o ponto em regime plenamente recuperado a jusante).

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (de forma prática e didática, sem pular etapas).
Quando se mede a queda de pressão em uma placa de orifício com tomadas em D e D/2 existe uma fórmula prática muito usada para relacionar a vazão Q com a diferença de pressão medida:
Q = C_d \, A_o \,\sqrt{\frac{2\,\Delta p_{\text{med}}}{\rho\,(1-\beta^4)}},
onde:
  • A_o é a área do furo da placa (área do orifício);
  • \beta = d/D é a razão de diâmetros;
  • \Delta p_{\text{med}} = p_1 - p_2 é a diferença de pressão medida nas tomadas D e D/2;
  • C_d é o coeficiente de descarga (um fator adimensional que corrige efeitos de contração e viscosidade).
Por que essa fórmula? Resumindo: a teoria invíscida dá uma relação com o fator 1-\beta^4; na prática a velocidade real que passa pelo orifício é menor que a teórica, por isso multiplicamos por C_d. Para tomadas em D e D/2 e para \beta=0{,}5, valores típicos de C_d (para água e números de Reynolds altos, regime usual nas aplicações) ficam por volta de 0{,}61. Vou usar C_d = 0{,}61 e explicar a escolha: é um valor padrão tabelado e adequado para placa de orifício afiada com \beta=0{,}5 e água — se fosse pedido com precisão metrológica eu verificaria a tabela do fabricante ou correlação com Reynolds, mas para a prova esse valor é aceitável.

Passo 3

Calcular áreas necessárias.
Área do orifício:
A_o = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (0{,}05)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}000625 = 0{,}0019635\\ \text{m}^2.
Área do tubo:
A_1 = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi (0{,}10)^2}{4} = \pi\cdot 0{,}0025 = 0{,}00785398\\ \text{m}^2.
Guardei A_o\approx 1{,}9635\times 10^{-3}\\ \text{m}^2 e A_1\approx 7{,}85398\times 10^{-3}\\ \text{m}^2.

Passo 4

Calcular a vazão Q com a fórmula da placa de orifício.
Substituindo na fórmula
Q = C_d A_o \sqrt{\frac{2\Delta p_{\text{med}}}{\rho(1-\beta^4)}},
com C_d=0{,}61, \Delta p_{\text{med}}=75\,000\\ \text{Pa}, \rho=998\\ \text{kg/m}^3, \beta^4=(0{,}5)^4=0{,}0625 e 1-\beta^4=0{,}9375.
Primeiro o termo dentro da raiz:
\frac{2\Delta p_{\text{med}}}{\rho(1-\beta^4)} = \frac{2\cdot 75\,000}{998\cdot 0{,}9375} = \frac{150\,000}{935{,}625} \approx 160{,}318\\ (\text{m}^2/\text{s}^2).
A raiz:
\sqrt{160{,}318}\approx 12{,}660\\ \text{m/s}.
Agora:
Q = 0{,}61 \times 0{,}0019635 \times 12{,}660 \approx 0{,}0151639\\ \text{m}^3/\text{s}.
Converter para \text{m}^3/\text{h}:
Q_{\text{(m}^3/\text{h)}} = 0{,}0151639\times 3600 \approx 54{,}59\\ \text{m}^3/\text{h}.
Eu escolhi arredondar no final; mantenho três algarismos significativos úteis: Q\approx 54{,}6\\ \text{m}^3/\text{h}.

Passo 5

Agora vamos calcular a perda de carga não recuperada (perda permanente). Vou explicar a física devagar:
Quando o fluido passa pelo orifício, na região da contração (vena contracta) a velocidade é máxima V_c. Depois o jato se reexpande para a seção do tubo e há perda irreversível devido à mistura e vorticidade — essa é a perda não recuperada que queremos. Pelo balanço de energia entre o ponto a montante uniforme (seção 1) e o ponto bem a jusante onde o escoamento novamente se uniformizou (seção 3), a diferença de pressão permanente é igual à perda associada à expansão do jato. Em termos de pressões essa perda pode ser escrita (teoria invíscida + expansão súbita):
\Delta p_{\text{perm}} = p_1 - p_3 = \frac{\rho}{2}\,(V_c - V_1)^2.
Aqui:
  • V_1 = Q/A_1 é a velocidade no tubo antes da placa,
  • V_c = Q/A_c é a velocidade na vena contracta,
  • A_c é a área do estrangulamento real (area do vena contracta), que se relaciona com a área do orifício por A_c = C_c A_o, onde C_c é o coeficiente de contração. Na prática para orifícios afiados C_c é muito próximo do coeficiente de descarga C_d (o outro fator, velocidade real vs teórica, é cerca de 1). Assim, para estimativa típica usamos C_c\approx C_d.

Passo 6

Calcular V_1 e V_c usando C_c\approx C_d=0{,}61.
Velocidade no tubo:
V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{0{,}0151639}{0{,}00785398}\approx 1{,}9311\\ \text{m/s}.
Área da vena contracta:
A_c = C_c A_o \approx 0{,}61\times 0{,}0019635 = 0{,}0011977\\ \text{m}^2.
Velocidade na vena contracta:
V_c = \frac{Q}{A_c} = \frac{0{,}0151639}{0{,}0011977}\approx 12{,}027\\ \text{m/s}.
(Observe que V_c é bem maior que V_1, como esperado.)
Agora a perda de pressão permanente:
\Delta p_{\text{perm}} = \frac{\rho}{2}(V_c - V_1)^2 = \frac{998}{2}(12{,}027 - 1{,}9311)^2
=499\cdot (10{,}0959)^2 \approx 499\cdot 101{,}928 \approx 57\,460\\ \text{Pa}.
Ou seja \Delta p_{\text{perm}}\approx 57{,}46\\ \text{kPa}.
Em termos de perda de carga (cota de carga de pressão em metros de coluna d’água):
h_{\text{perm}} = \frac{\Delta p_{\text{perm}}}{\rho g} = \frac{57\,460}{998\cdot 9{,}81}\approx 5{,}875\\ \text{m}.

Passo 7

Breve interpretação numérica final (sem estourar as conclusões): a diferença de pressão medida entre as tomadas foi 75\\ \text{kPa}. Parte dessa energia dinâmica é recuperada quando o jato reexpande; a perda permanente (energia dissipada) é cerca de 57{,}5\\ \text{kPa} (ou ≈ 5{,}88\\ \text{m} de água). A vazão estimada, usando C_d=0{,}61, ficou em cerca de 54{,}6\\ \text{m}^3/\text{h}. Valores exatos variariam se um C_d diferente fosse usado (mas 0,61 é o valor técnico usual para esse caso).

Resposta

Q \approx 54{,}6\\ \text{m}^3/\text{h}.\n
Perda de carga não recuperada \Delta p_{\text{perm}} \approx 57{,}5\\ \text{kPa} (equivalente a h_{\text{perm}}\approx 5{,}88\\ \text{m} de água).

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