P6.143 Um tubo liso de 10 cm de diâmetro contém uma placa de orifício com tomadas
e
. A queda de pressão medida no orifício é 75 kPa para escoamento de água a
. Calcule a vazão em
. Qual é a perda de carga não recuperada?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
A placa de orifício tem tomadas a
(montante) e
(jusante). A queda de pressão medida entre essas tomadas é
A fluido é água a
. Vou usar a densidade
(e
quando precisar).
Perguntas:
- Calcular a vazão
em . - Calcular a perda de carga não recuperada (ou seja, a perda permanente entre o ponto a montante e o ponto em regime plenamente recuperado a jusante).
Passo 2
Explicando o método que vamos usar (de forma prática e didática, sem pular etapas).
Quando se mede a queda de pressão em uma placa de orifício com tomadas em
e
existe uma fórmula prática muito usada para relacionar a vazão
com a diferença de pressão medida:
onde:
-
é a área do furo da placa (área do orifício); -
é a razão de diâmetros; -
é a diferença de pressão medida nas tomadas e ; -
é o coeficiente de descarga (um fator adimensional que corrige efeitos de contração e viscosidade).
Por que essa fórmula? Resumindo: a teoria invíscida dá uma relação com o fator
; na prática a velocidade real que passa pelo orifício é menor que a teórica, por isso multiplicamos por
. Para tomadas em
e
e para
, valores típicos de
(para água e números de Reynolds altos, regime usual nas aplicações) ficam por volta de
. Vou usar
e explicar a escolha: é um valor padrão tabelado e adequado para placa de orifício afiada com
e água — se fosse pedido com precisão metrológica eu verificaria a tabela do fabricante ou correlação com Reynolds, mas para a prova esse valor é aceitável.
Passo 3
Calcular áreas necessárias.
Área do orifício:
Área do tubo:
Guardei
e
.
Passo 4
Calcular a vazão
com a fórmula da placa de orifício.
Substituindo na fórmula
com
,
,
,
e
.
Primeiro o termo dentro da raiz:
A raiz:
Agora:
Converter para
:
Eu escolhi arredondar no final; mantenho três algarismos significativos úteis:
.
Passo 5
Agora vamos calcular a perda de carga não recuperada (perda permanente). Vou explicar a física devagar:
Quando o fluido passa pelo orifício, na região da contração (vena contracta) a velocidade é máxima
. Depois o jato se reexpande para a seção do tubo e há perda irreversível devido à mistura e vorticidade — essa é a perda não recuperada que queremos. Pelo balanço de energia entre o ponto a montante uniforme (seção 1) e o ponto bem a jusante onde o escoamento novamente se uniformizou (seção 3), a diferença de pressão permanente é igual à perda associada à expansão do jato. Em termos de pressões essa perda pode ser escrita (teoria invíscida + expansão súbita):
Aqui:
-
é a velocidade no tubo antes da placa, -
é a velocidade na vena contracta, -
é a área do estrangulamento real (area do vena contracta), que se relaciona com a área do orifício por , onde é o coeficiente de contração. Na prática para orifícios afiados é muito próximo do coeficiente de descarga (o outro fator, velocidade real vs teórica, é cerca de 1). Assim, para estimativa típica usamos .
Passo 6
Calcular
e
usando
.
Velocidade no tubo:
Área da vena contracta:
Velocidade na vena contracta:
(Observe que
é bem maior que
, como esperado.)
Agora a perda de pressão permanente:
Ou seja
Em termos de perda de carga (cota de carga de pressão em metros de coluna d’água):
Passo 7
Breve interpretação numérica final (sem estourar as conclusões): a diferença de pressão medida entre as tomadas foi
. Parte dessa energia dinâmica é recuperada quando o jato reexpande; a perda permanente (energia dissipada) é cerca de
(ou ≈
de água). A vazão estimada, usando
, ficou em cerca de
. Valores exatos variariam se um
diferente fosse usado (mas 0,61 é o valor técnico usual para esse caso).
Resposta
Perda de carga não recuperada