P6.157 Modifique o Problema 6.156 se o fluido for ar a 20^{\circ} \mathrm{C}, entrando no venturi a uma pressão de 124,1 \mathrm{kPa}. Devese fazer uma correção de compressibilidade?

Passo 1

O enunciado pede para “modificar o Problema 6.156” supondo que o fluido agora seja ar a 20^\circ\mathrm{C} entrando no venturi à pressão de 124,1\\ \mathrm{kPa}, e pergunta se é necessário fazer correção de compressibilidade.
Informações fornecidas explicitamente neste enunciado:
\text{temperatura } T = 20^\circ\mathrm{C},\qquad \text{pressão } p_1 = 124{,}1\\ \mathrm{kPa}.ã
O enunciado não traz aqui os dados do Problema 6.156 (por exemplo: diâmetros/áreas do venturi, vazão Q, velocidades iniciais, ou a queda de pressão \Delta p=p_1-p_2). Esses dados são necessários para calcular a velocidade típica no gargalo e, assim, decidir numericamente sobre a compressibilidade.

Passo 2

Explicando o que é “correção de compressibilidade” e qual critério prático usar (aula curta e direta).
  • Compressibilidade significa que a densidade do fluido varia com a pressão. Para gases isso ocorre naturalmente; para decidir se devemos considerar essa variação nas contas, usamos critérios práticos.
  • Critério prático mais usado: comparar a velocidade do fluxo com a velocidade do som no gás, definindo o número de Mach
\mathrm{Ma}=\frac{V}{a},
onde V é a velocidade local do fluxo e a é a velocidade do som. Regra empírica: se \mathrm{Ma}<0{,}3 a compressibilidade é geralmente desprezível (variações de densidade pequenas, < 5\% aproximadamente); se \mathrm{Ma}\gtrsim 0{,}3 convém considerar efeitos de compressibilidade.
  • Outro critério equivalente é comparar a pressão dinâmica \tfrac12\rho V^2 com a pressão estática p: quando \tfrac12\rho V^2/p não é muito pequeno, a compressibilidade pode ser importante. Mas o critério do Mach é o mais direto e simples de aplicar.

Passo 3

Calcular propriedades do ar nas condições dadas (vou mostrar as contas passo a passo).
Usamos o gás ideal e a=\sqrt{\gamma R T}. Constantes para ar seco:
R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)},\qquad \gamma = 1{,}4.
Temperatura absoluta:
T = 20^\circ\mathrm{C} = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
Densidade pela equação dos gases ideais:
\rho = \frac{p}{R T} = \frac{124100\\ \mathrm{Pa}}{287\cdot 293{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Faço a conta (passo a passo):
287\cdot 293{,}15 = 84\,134{,}05
\rho = \frac{124100}{84\,134{,}05} \approx 1{,}475\\ \mathrm{kg/m^3}.
Velocidade do som:
a = \sqrt{\gamma R T} = \sqrt{1{,}4\cdot 287\cdot 293{,}15}\\ \mathrm{m/s}.
Faço a conta:
1{,}4\cdot 287\cdot 293{,}15 \approx 117\,787{,}7
a \approx \sqrt{117\,787{,}7} \approx 343{,}1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Definir o critério numérico que vamos usar para decidir (converter a regra do Mach em velocidade limite).
Com \mathrm{Ma}_{\text{crit}}=0{,}3 temos
V_{\text{crit}} = 0{,}3\,a \approx 0{,}3\cdot 343{,}1 \approx 102{,}9\\ \mathrm{m/s}\approx 103\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação direta: se a velocidade no gargalo do venturi for menor que cerca de 103\\ \mathrm{m/s}, a correção de compressibilidade não costuma ser necessária; se for maior, deve-se incluir efeitos de compressibilidade.

Passo 5

Indico como obter a velocidade no gargalo usando os dados que deveriam estar no Problema 6.156 (receita passo a passo que você pode aplicar na prova).
  • Caso o problema dê vazão volumétrica Q e área do gargalo A_2: calcule
V_2=\frac{Q}{A_2}.
  • Caso dê velocidades/áreas upstream e no gargalo: pela continuidade
A_1 V_1 = A_2 V_2 \quad\Rightarrow\quad V_2 = V_1\frac{A_1}{A_2}.
  • Caso dê a queda de pressão medida \Delta p = p_1-p_2 e você use a fórmula de Bernoulli incompressível (apenas como estimativa inicial),
\Delta p \approx \tfrac12\rho\bigl(V_2^2-V_1^2\bigr).
Se V_1 for pequeno comparado com V_2, simplifica para
V_2 \approx \sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}.
Procedimento na prova: calcule V_2 por um dos caminhos acima, então calcule \mathrm{Ma}=V_2/a e compare com 0{,}3.

Passo 6

Dou dois exemplos numéricos rápidos (para você ver limites práticos e sentir quando a compressibilidade aparece): usando \rho=1{,}475\\ \mathrm{kg/m^3} calculado antes.
  • Exemplo A: se \Delta p = 5\\ \mathrm{kPa} e V_1 desprezível, então
V_2 \approx \sqrt{\frac{2\cdot 5000}{1{,}475}} \approx 82{,}3\\ \mathrm{m/s},
\mathrm{Ma}\approx \frac{82{,}3}{343{,}1}\approx 0{,}24 \quad\text{(compressibilidade desprezível)}.í
  • Exemplo B: se \Delta p = 10\\ \mathrm{kPa},
V_2 \approx \sqrt{\frac{2\cdot 10000}{1{,}475}} \approx 116{,}5\\ \mathrm{m/s},
\mathrm{Ma}\approx \frac{116{,}5}{343{,}1}\approx 0{,}34 \quad\text{(compressibilidade já importante)}.á
Esses exemplos mostram que quedas de pressão da ordem de alguns kPa podem já levar a velocidades próximas ou acima de 0{,}3\,a.

Passo 7

Conclusão prática e o que fazer no exame (resumo passo a passo que você deve executar se cair essa pergunta na prova):
  1. Pegue os dados do Problema 6.156: Q ou A_1,A_2,V_1 ou \Delta p.
  2. Calcule V_2 como mostrei no Passo 5.
  3. Use as propriedades do ar que calculamos: \rho\approx 1{,}475\\ \mathrm{kg/m^3} e a\approx 343{,}1\\ \mathrm{m/s}.
  4. Calcule \mathrm{Ma}=V_2/a. Se \mathrm{Ma}<0{,}3 não faz correção; se \mathrm{Ma}\gtrsim 0{,}3 faça correção de compressibilidade (usar relações isentrópicas e formulação compressível para o venturi).

Resposta

Não é possível modificar numericamente o Problema 6.156 sem os dados (áreas, vazão ou \Delta p) desse problema. Procedimento prático: calcule a densidade \rho\approx 1{,}475\\ \mathrm{kg/m^3} e a velocidade do som a\approx 343{,}1\\ \mathrm{m/s}; calcule a velocidade no gargalo V_2 a partir dos dados do problema e o número de Mach \mathrm{Ma}=V_2/a. Se \mathrm{Ma}<0{,}3 (ou seja V_2\lesssim 103\\ \mathrm{m/s}) não é necessário corrigir por compressibilidade; se \mathrm{Ma}\gtrsim 0{,}3 (ou seja V_2\gtrsim 103\\ \mathrm{m/s}) deve-se aplicar correção de compressibilidade.

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