15a Questão Determine a para que \mathcal{L} exista, e calcule o limite.
\lim _{x \longrightarrow-2} \frac{6 x^{2}+2 a x+2 a+6}{x^{2}+x-2}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a para que o limite
\lim_{x\to-2}\frac{6x^{2}+2ax+2a+6}{x^{2}+x-2}
exista (isto é, exista um valor finito) e, nesse caso, calcular esse limite.
Informações dadas: a função cujo limite queremos é a fração com numerador 6x^{2}+2ax+2a+6 e denominador x^{2}+x-2. O ponto de interesse é x\to-2.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando calculamos um limite \lim_{x\to c}\frac{N(x)}{D(x)} e encontramos que D\text{(c)}=0, há três situações típicas:
  • Se N\text{(c)}\neq 0, então a fração fica com denominador 0 e numerador não nulo ao aproximar-se de c, o que leva a um limite infinito ou à inexistência de limite finito.
  • Se N\text{(c)}=0 também (situação de forma 0/0), pode haver uma indeterminação removível: geralmente existe um fator comum (x-c) em N(x) e em D(x) que podemos cancelar, e então avaliar o limite do quociente simplificado por substituição direta.
    Portanto, para que o limite exista e seja finito quando D(-2)=0, precisamos exigir que N(-2)=0 (ou analisar outra possibilidade de limite infinito, mas o enunciado pede que \mathcal{L} exista — entendemos aqui como limite finito).

Passo 3

Calculo do denominador em x=-2:
(-2)^{2}+(-2)-2 = 4-2-2=0,
portanto realmente D(-2)=0. Agora avaliamos o numerador em x=-2 (aqui aparece a):
N(-2)=6(-2)^{2}+2a(-2)+2a+6.
Faço as contas passo a passo:
6(-2)^{2}=6\cdot 4=24,
2a(-2)=-4a,
logo
N(-2)=24-4a+2a+6 = (24+6) + (-4a+2a) = 30-2a.
Para obter forma 0/0 precisamos de N(-2)=0. Assim imponho
30-2a=0.

Passo 4

Resolvo a equação para a:
30-2a=0 \Longrightarrow 2a=30 \Longrightarrow a=15.
Portanto a=15 é a condição necessária para que o numerador zere em x=-2. Agora substituo a=15 no numerador e fatoro para ver o cancelamento:
com a=15,
N(x)=6x^{2}+2\cdot 15\,x+2\cdot 15+6 = 6x^{2}+30x+36.
Fatoro 6 como fator comum:
N(x)=6\bigl(x^{2}+5x+6\bigr).
Reconheço que x^{2}+5x+6 é um quadrático com raízes -2 e -3 (porque -2\cdot -3=6 e -2+-3=-5, atenção ao sinal: para obter +5x as raízes são -2 e -3 multiplicadas por -1; verificar diretamente a fatoração):
na verdade fatoro por inspeção:
x^{2}+5x+6=(x+2)(x+3).
Logo
N(x)=6(x+2)(x+3).
O denominador fatora também (fato padrão):
D(x)=x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).

Passo 5

Com a=15 temos
\frac{N(x)}{D(x)}=\frac{6(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-1)}.
Posso cancelar o fator comum (x+2) (isso é permitido para x\neq -2; o limite considera aproximação por valores diferentes de -2), obtendo a função simplificada
\frac{N(x)}{D(x)} = \frac{6(x+3)}{x-1}\quad\text{para }x\neq -2.
Agora o limite quando x\to -2 é o limite dessa função simplificada; como o denominador x-1 em x=-2 é -3\neq 0, posso simplesmente substituir x=-2:
\lim_{x\to-2}\frac{6(x+3)}{x-1} = \frac{6\bigl((-2)+3\bigr)}{(-2)-1} = \frac{6\cdot 1}{-3} = -2.

Passo 6

Conclusão e verificação: para a=15 o numerador e o denominador têm o mesmo fator (x+2) e o ponto singular em x=-2 é removível; após cancelamento obtemos limite finito -2. Se a\neq 15, o numerador em x=-2 não é zero e o limite não é finito (tende a infinito ou não existe de forma finita).

Resposta

a=15
\displaystyle -2

Exercícios relacionados