15a Questão Determine
para que
exista, e calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede: determinar
para que o limite
exista (isto é, exista um valor finito) e, nesse caso, calcular esse limite.
Informações dadas: a função cujo limite queremos é a fração com numerador e denominador
. O ponto de interesse é
.
Informações dadas: a função cujo limite queremos é a fração com numerador
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando calculamos um limite
e encontramos que
, há três situações típicas:
- Se
, então a fração fica com denominador e numerador não nulo ao aproximar-se de , o que leva a um limite infinito ou à inexistência de limite finito. - Se
também (situação de forma ), pode haver uma indeterminação removível: geralmente existe um fator comum em e em que podemos cancelar, e então avaliar o limite do quociente simplificado por substituição direta.
Portanto, para que o limite exista e seja finito quando, precisamos exigir que (ou analisar outra possibilidade de limite infinito, mas o enunciado pede que exista — entendemos aqui como limite finito).
Passo 3
Calculo do denominador em
:
portanto realmente
. Agora avaliamos o numerador em
(aqui aparece
):
Faço as contas passo a passo:
logo
Para obter forma
precisamos de
. Assim imponho
Passo 4
Resolvo a equação para
:
Portanto
é a condição necessária para que o numerador zere em
. Agora substituo
no numerador e fatoro para ver o cancelamento:
com ,
com
Fatoro
como fator comum:
Reconheço que
é um quadrático com raízes
e
(porque
e
, atenção ao sinal: para obter
as raízes são
e
multiplicadas por
; verificar diretamente a fatoração):
na verdade fatoro por inspeção:
na verdade fatoro por inspeção:
Logo
O denominador fatora também (fato padrão):
Passo 5
Com
temos
Posso cancelar o fator comum
(isso é permitido para
; o limite considera aproximação por valores diferentes de
), obtendo a função simplificada
Agora o limite quando
é o limite dessa função simplificada; como o denominador
em
é
, posso simplesmente substituir
:
Passo 6
Conclusão e verificação: para
o numerador e o denominador têm o mesmo fator
e o ponto singular em
é removível; após cancelamento obtemos limite finito
. Se
, o numerador em
não é zero e o limite não é finito (tende a infinito ou não existe de forma finita).