15a Questão Determine
para que
exista, e calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) determinar os valores do parâmetro
para que exista o limite
; (ii) calcular esse limite. A informação dada é a função/expression
dependendo da variável
e do parâmetro real
. Vamos considerar
e
.
Passo 2
Idéia-chave (ferramenta que usamos): o comportamento da função exponencial
quando
.
- Sabemos que
. - Sabemos que
.
Isto decorre da definição/propriedades da exponencial (por exemplo usando série ou o fato de ser crescente e maior que). Aqui vamos aplicar isso com .
Passo 3
Análise por casos segundo o sinal de
. Primeiro caso:
.
- Se
, então ao fazer temos . - Aplicando a propriedade do passo anterior,
Portanto para
o limite diverge para
(não existe como número real finito).
Passo 4
Segundo caso:
.
- Se
, então para todo temos . - Logo
Esse limite existe e é o número
.
Passo 5
Terceiro caso:
. Escreva
com
.
- Então
. - Mostramos que
para . Uma justificativa simples: para todo vale ; tomando com obtemos , logo . - Assim
, isto é
Portanto para
o limite existe e vale
.
Passo 6
Resumo prático para prova (truque rápido): observe o sinal de
. Se
o expoente vai para
e
. Se
a expressão é constante
. Se
o expoente vai para
e
. Esse raciocínio é rápido e seguro na maioria das provas.
Resposta
]