15a Questão Determine a para que \mathcal{L} exista, e calcule o limite.
\lim _{x \longrightarrow \infty}\left(e^{a x}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) determinar os valores do parâmetro a para que exista o limite \mathcal{L}=\displaystyle\lim_{x\to\infty} e^{a x}; (ii) calcular esse limite. A informação dada é a função/expression \,e^{a x}\, dependendo da variável x e do parâmetro real a. Vamos considerar a\in\mathbb{R} e x\to\infty.

Passo 2

Idéia-chave (ferramenta que usamos): o comportamento da função exponencial \,e^{t}\, quando t\to\pm\infty.
  • Sabemos que \displaystyle\lim_{t\to+\infty} e^{t}=+\infty.
  • Sabemos que \displaystyle\lim_{t\to-\infty} e^{t}=0.
    Isto decorre da definição/propriedades da exponencial (por exemplo usando série ou o fato de ser crescente e maior que 1+t). Aqui vamos aplicar isso com t=ax.

Passo 3

Análise por casos segundo o sinal de a. Primeiro caso: a>0.
  • Se a>0, então ao fazer x\to\infty temos t=ax\to+\infty.
  • Aplicando a propriedade do passo anterior,
\lim_{x\to\infty} e^{a x}=\lim_{t\to+\infty} e^{t}=+\infty.
Portanto para a>0 o limite diverge para +\infty (não existe como número real finito).

Passo 4

Segundo caso: a=0.
  • Se a=0, então para todo x temos e^{a x}=e^{0}=1.
  • Logo
\lim_{x\to\infty} e^{a x}=\lim_{x\to\infty} 1 = 1.
Esse limite existe e é o número 1.

Passo 5

Terceiro caso: a<0. Escreva a=-b com b>0.
  • Então e^{a x}=e^{-b x}=\dfrac{1}{e^{b x}}.
  • Mostramos que \displaystyle\lim_{x\to\infty} e^{b x}=+\infty para b>0. Uma justificativa simples: para todo y vale e^{y}\ge 1+y; tomando y=bx com x\to\infty obtemos e^{b x}\ge 1+b x\to+\infty, logo e^{b x}\to+\infty.
  • Assim \dfrac{1}{e^{b x}}\to 0, isto é
\lim_{x\to\infty} e^{a x}=\lim_{x\to\infty} \frac{1}{e^{b x}}=0.
Portanto para a<0 o limite existe e vale 0.

Passo 6

Resumo prático para prova (truque rápido): observe o sinal de a. Se a>0 o expoente vai para +\infty e e^{ax}\to+\infty. Se a=0 a expressão é constante 1. Se a<0 o expoente vai para -\infty e e^{ax}\to0. Esse raciocínio é rápido e seguro na maioria das provas.

Resposta

a\le 0\)\n\(\displaystyle \lim_{x\to\infty} e^{a x}=\begin{cases}0,& a<0,\\[4pt]1,& a=0,\\[4pt]+\infty\\ (\text{diverge}),& a>0.\end{cases}]

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