[16.2] Calcule a integral de linha, sendo C a curva indicada:
\int_{C} x^{2} y d s \quad C: x=\cos (t), y=\operatorname{sen}(t), z=t, 0 \leq t \leq \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x^{2}y\,ds
onde C é a curva parametrizada por
x=\cos(t),\quad y=\sin(t),\quad z=t,\quad 0\le t\le \tfrac{\pi}{2}.
O conteúdo é integral de linha em relação ao comprimento de arco. Para resolver, precisamos (1) escrever x e y em função de t, (2) calcular ds=\|r'(t)\|\,dt e (3) montar a integral em termos de t.

Passo 2

Calculemos o vetor velocidade r'(t) e seu módulo:
r'(t)=\bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr) =\bigl(-\sin t,\\ \cos t,\\\ 1\bigr).
Então
\|r'(t)\| =\sqrt{(-\sin t)^{2}+(\cos t)^{2}+1^{2}} =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t+1} =\sqrt{1+1} =\sqrt{2}.
Logo ds=\|r'(t)\|\,dt=\sqrt{2}\,dt.

Passo 3

Expressamos o integrando x^{2}y em função de t:
x^{2}y=(\cos t)^{2}(\sin t)=\cos^{2}t\,\sin t.
A integral de linha torna-se
\int_{0}^{\pi/2} \bigl(\cos^{2}t\,\sin t\bigr)\,\bigl(\sqrt{2}\,dt\bigr) =\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,\sin t\,dt.

Passo 4

Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,\sin t\,dt, faça a substituição
u=\cos t,\quad du=-\sin t\,dt.
Quando t=0, u=\cos0=1; quando t=\pi/2, u=\cos(\pi/2)=0. Logo
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{2}t\,\sin t\,dt =\int_{1}^{0}u^{2}\,(-du) =\int_{0}^{1}u^{2}\,du =\bigl[\tfrac{u^{3}}{3}\bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3}.
Portanto a integral original vale
\sqrt{2}\times\tfrac{1}{3} =\tfrac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}

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