Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado.
x+y=3 e x=4-(y-1)^{2}, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região limitada pelas curvas
x+y=3
e
x = 4 - (y-1)^{2}.
Como o eixo de giro é horizontal, e as curvas estão dadas como x=f(y), o método das cascas cilíndricas em y é o mais conveniente. Vamos precisar (1) encontrar os limites em y, (2) determinar raio e altura da casca, e (3) montar e calcular a integral de 2\pi\int (\text{raio})(\text{altura})\,dy.

Passo 2

Para achar os valores extremos de y, resolvemos a interseção
3 - y \;=\; 4 - (y-1)^{2}.
Rearranjando,
(y-1)^{2} - y - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} -2y +1 -y -1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y(y-3)=0.
Logo as curvas se cruzam em y=0 e em y=3.

Passo 3

Em cada y\in[0,3] a casca cilíndrica tem:
– raio igual à distância ao eixo x, ou seja,
\text{raio} = y.
– altura igual à diferença das abscissas (direita menos esquerda):
\text{altura} = \bigl(4 - (y-1)^{2}\bigr) \;-\;(3 - y).
Simplificando,
\text{altura} =4 - (y^2 -2y +1) -3 +y =3y - y^{2}.

Passo 4

O volume pelo método das cascas é
V = 2\pi \int_{y=0}^{y=3} \bigl(\text{raio}\bigr)\,\bigl(\text{altura}\bigr)\,dy =2\pi \int_{0}^{3} y\,(3y - y^{2})\,dy.

Passo 5

Expandindo o integrando,
y\,(3y - y^{2}) = 3y^{2} - y^{3}.
Então
V = 2\pi \int_{0}^{3} \bigl(3y^{2} - y^{3}\bigr)\,dy =2\pi \Bigl[\;y^{3} - \tfrac{y^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{3} =2\pi \bigl(27 - \tfrac{81}{4}\bigr) =2\pi \cdot \tfrac{27}{4} =\tfrac{27\pi}{2}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \frac{27\pi}{2}.

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