[16.3] Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \nabla f=\mathbf{F}.
\mathbf{F}(x, y)=\left(x y+y^{2}\right) \mathbf{i}+\left(x^{2}+2 x y\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se \mathbf{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)) com
P(x,y)=xy+y^2,
Q(x,y)=x^2+2xy
é um campo conservativo em \mathbb{R}^2 (que é simplesmente conexo) e, se for, encontrar uma função potencial f tal que \nabla f=\mathbf{F}.

Passo 2

Em uma região simplesmente conexa, \mathbf{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x}.
Calculemos cada derivada:
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(xy+y^2) =x+2y,
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2+2xy) =2x+2y.

Passo 3

Comparemos:
\frac{\partial P}{\partial y}=x+2y, \quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x+2y.
Como x+2y\neq 2x+2y para todo x,y, concluímos que \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x}
e, portanto, \mathbf{F} não é conservativo em \mathbb{R}^2.

Resposta

\mathbf{F} não é um campo vetorial conservativo.

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