Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo especificado.
e
, em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
a região limitada pelas curvas
e
Como o eixo de giro é horizontal, e as curvas estão dadas como
, o método das cascas cilíndricas em
é o mais conveniente. Vamos precisar (1) encontrar os limites em
, (2) determinar raio e altura da casca, e (3) montar e calcular a integral de
.
Passo 2
Para achar os valores extremos de
, resolvemos a interseção
Rearranjando,
Logo as curvas se cruzam em
e em
.
Passo 3
Em cada
a casca cilíndrica tem:
– raio igual à distância ao eixo , ou seja,
– raio igual à distância ao eixo
– altura igual à diferença das abscissas (direita menos esquerda):
Simplificando,
Passo 4
O volume pelo método das cascas é
Passo 5
Expandindo o integrando,
Então
Resposta
O volume do sólido é
.