De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Não há restrições adicionais; busca-se uma primitiva (ou seja, a integral indefinida com constante de integração).
Passo 2
Vou procurar uma substituição útil. Uma técnica muito comum é verificar se o numerador é proporcional à derivada do polinômio que aparece no denominador: calculemos a derivada de
.
Observe que
aparece no numerador e está relacionado a
por
Isso sugere a substituição
, porque a diferencial
será proporcional a
, o que simplifica a integral.
Passo 3
Façamos a substituição explicitamente. Defina
Então
Como
, temos
Substituindo na integral, o denominador
vira
e o numerador
vira
. Assim
Passo 4
Integramos usando a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Passo 5
Voltemos à variável
substituindo
. Assim a primitiva encontrada é
ou, escrito de forma mais convencional,
Passo 6
Checagem rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Diferenciando
temos, pela regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.