De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
\int \frac{u-2}{\left(u^{2}-4 u+3\right)^{3}} d u

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{u-2}{\left(u^{2}-4 u+3\right)^{3}}\,du.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{u-2}{(u^{2}-4u+3)^{3}}.
  • Não há restrições adicionais; busca-se uma primitiva (ou seja, a integral indefinida com constante de integração).

Passo 2

Vou procurar uma substituição útil. Uma técnica muito comum é verificar se o numerador é proporcional à derivada do polinômio que aparece no denominador: calculemos a derivada de \,u^{2}-4u+3\,.
\frac{d}{du}\big(u^{2}-4u+3\big)=2u-4.
Observe que u-2 aparece no numerador e está relacionado a 2u-4 por
u-2=\tfrac{1}{2}(2u-4).
Isso sugere a substituição \,w=u^{2}-4u+3\,, porque a diferencial dw será proporcional a (u-2)\,du, o que simplifica a integral.

Passo 3

Façamos a substituição explicitamente. Defina
w = u^{2}-4u+3.
Então
dw = (2u-4)\,du.
Como u-2=\tfrac{1}{2}(2u-4), temos
(u-2)\,du=\tfrac{1}{2}\,dw.
Substituindo na integral, o denominador (u^{2}-4u+3)^{3} vira w^{3} e o numerador (u-2)\,du vira \tfrac{1}{2}\,dw. Assim
\int \frac{u-2}{\left(u^{2}-4 u+3\right)^{3}}\,du = \frac{1}{2}\int \frac{1}{w^{3}}\,dw = \frac{1}{2}\int w^{-3}\,dw.

Passo 4

Integramos usando a regra da potência para integrais: para n\neq-1,
\int w^{n}\,dw=\frac{w^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-3, então
\int w^{-3}\,dw=\frac{w^{-2}}{-2}+C=-\frac{1}{2}w^{-2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2} que estava fora da integral:
\frac{1}{2}\int w^{-3}\,dw=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}w^{-2}\right)+C=-\frac{1}{4}w^{-2}+C.

Passo 5

Voltemos à variável u substituindo w=u^{2}-4u+3. Assim a primitiva encontrada é
-\frac{1}{4}\big(u^{2}-4u+3\big)^{-2}+C,
ou, escrito de forma mais convencional,
-\frac{1}{4\left(u^{2}-4u+3\right)^{2}}+C.

Passo 6

Checagem rápida (opcional, mas útil): derivando a resposta obtida deve-se recuperar o integrando. Diferenciando
F(u)=-\frac{1}{4}\big(u^{2}-4u+3\big)^{-2}
temos, pela regra da cadeia,
F'(u)=-\frac{1}{4}\cdot(-2)\big(u^{2}-4u+3\big)^{-3}\cdot(2u-4) =\frac{1}{2}\cdot\frac{2u-4}{\big(u^{2}-4u+3\big)^{3}} =\frac{u-2}{\big(u^{2}-4u+3\big)^{3}},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

-\frac{1}{4\left(u^{2}-4u+3\right)^{2}}+C

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