De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
\int \operatorname{arccos} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arccos} x \, dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{arccos} x.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\operatorname{arccos} x.
  • Não foi dada restrição explícita de domínio, mas é bom lembrar que \operatorname{arccos} x está definida para -1 \le x \le 1. Durante os passos faremos manipulações válidas nesse intervalo.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicada didaticamente): usar a técnica da integração por partes, que costuma ser a mais direta quando aparece uma função inversa trigonométrica multiplicada por 1 (ou seja, \operatorname{arccos} x vezes dx). A fórmula de integração por partes é:
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para derivar ( du será sua derivada vezes dx),
  • dv é uma parte que escolhemos para integrar (obtemos v integrando dv).
Vou explicar cada passo: quando escolher u normalmente se pega a função que fica “mais simples” ao derivar; dv é o resto que integramos. Isso reduz a integral original a outra mais simples.

Passo 3

Escolha de u e dv:
u = \operatorname{arccos} x,\qquad dv = dx.
Agora calculamos du e v.
  • Derivada de \operatorname{arccos} x: a regra conhecida é
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccos} x\big) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},
válida para -1<x<1. Então
du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
  • Integrando dv=dx obtemos
v = x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = \int u\,dv = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x - \int x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx.
Simplificando o sinal:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
Fazemos a substituição simples
w = 1 - x^2.
Então
dw = -2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,dw.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \frac{x}{\sqrt{w}}\;dx = \int \frac{-1}{2} w^{-1/2}\,dw.

Passo 6

Integramos em w:
\int -\frac{1}{2} w^{-1/2}\,dw = -\frac{1}{2}\cdot \frac{w^{1/2}}{1/2} + C = - w^{1/2} + C.
Voltando para x (lembre-se w=1-x^2):
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2} + C.

Passo 7

Voltando ao resultado obtido na integração por partes:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x + \big(-\sqrt{1-x^2}\big) + C.
Ou seja,
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2} + C.

Passo 8

Verificação rápida (bônus didático): derivando a primitiva encontrada para checar se dá \operatorname{arccos} x.
Calcule \frac{d}{dx}\big(x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2}\big):
  • Para x\operatorname{arccos} x usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}(x\operatorname{arccos} x)=1\cdot\operatorname{arccos} x + x\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right).
  • Para -\sqrt{1-x^2}:
\frac{d}{dx}\big(-\sqrt{1-x^2}\big) = -\frac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}\cdot(-2x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.
Somando:
\operatorname{arccos} x -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} = \operatorname{arccos} x,
confirma que a primitiva está correta.

Resposta

x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2} + C

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