De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma expressão
tal que . - Não foi dada restrição explícita de domínio, mas é bom lembrar que
está definida para . Durante os passos faremos manipulações válidas nesse intervalo.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicada didaticamente): usar a técnica da integração por partes, que costuma ser a mais direta quando aparece uma função inversa trigonométrica multiplicada por
(ou seja,
vezes
). A fórmula de integração por partes é:
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para derivar ( será sua derivada vezes ), -
é uma parte que escolhemos para integrar (obtemos integrando ).
Vou explicar cada passo: quando escolher
normalmente se pega a função que fica “mais simples” ao derivar;
é o resto que integramos. Isso reduz a integral original a outra mais simples.
Passo 3
Escolha de
e
:
Agora calculamos
e
.
- Derivada de
: a regra conhecida é
válida para
. Então
- Integrando
obtemos
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Simplificando o sinal:
Passo 5
Agora calculamos a integral
Fazemos a substituição simples
Então
Substituindo na integral:
Passo 6
Integramos em
:
Voltando para
(lembre-se
):
Passo 7
Voltando ao resultado obtido na integração por partes:
Ou seja,
Passo 8
Verificação rápida (bônus didático): derivando a primitiva encontrada para checar se dá
.
Calcule :
Calcule
- Para
usamos a regra do produto:
- Para
:
Somando:
confirma que a primitiva está correta.