De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
\int \frac{y}{\sqrt[3]{1-2 y^{2}}} d y

Passo 1

O problema pede calcular a integral indefinida
\int \frac{y}{\sqrt[3]{1-2 y^{2}}}\, dy.
Informações dadas: a integranda é \dfrac{y}{\sqrt[3]{1-2y^{2}}}. O resultado deve ser uma primitiva dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais constante de integração C.

Passo 2

Observação e escolha do método: a expressão dentro da raiz cúbica é 1-2y^{2} e seu derivado é -4y, que é proporcional a y presente no numerador. Isso sugere a substituição por uma nova variável u igual àquela expressão interna. Faço a substituição
u = 1-2y^{2}.
Agora calculemos o diferencial du.

Passo 3

Derivando u em relação a y obtemos
du = \frac{d}{dy}(1-2y^{2})\,dy = -4y\,dy.
Isolando y\,dy temos
y\,dy = -\frac{1}{4}\,du.
Também escrevemos a raiz cúbica em termos de u:
\sqrt[3]{1-2y^{2}} = u^{1/3}.
Agora substituímos tudo na integral original.

Passo 4

Substituindo y\,dy e a raiz cúbica, a integral passa a ser
\int \frac{y}{\sqrt[3]{1-2y^{2}}}\,dy = \int \frac{1}{u^{1/3}}\left(y\,dy\right) = \int u^{-1/3}\left(-\frac{1}{4}\,du\right).
Ou seja,
\int \frac{y}{\sqrt[3]{1-2y^{2}}}\,dy = -\frac{1}{4}\int u^{-1/3}\,du.

Passo 5

Integramos usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aqui n=-\tfrac{1}{3}, logo n+1=\tfrac{2}{3}. Então
\int u^{-1/3}\,du = \frac{u^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}\,u^{2/3}.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{4} obtém-se
-\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{2}\,u^{2/3} = -\frac{3}{8}\,u^{2/3}.

Passo 6

Voltando à variável original y (substituindo u=1-2y^{2}) e adicionando a constante de integração C, a primitiva encontrada é
-\frac{3}{8}\bigl(1-2y^{2}\bigr)^{2/3}+C.

Passo 7

Verificação (checagem rápida): derivando a expressão encontrada:
\frac{d}{dy}\left[-\frac{3}{8}\bigl(1-2y^{2}\bigr)^{2/3}\right] = -\frac{3}{8}\cdot\frac{2}{3}\bigl(1-2y^{2}\bigr)^{-1/3}\cdot(-4y).
Calculando os fatores: -\tfrac{3}{8}\cdot\tfrac{2}{3}=-\tfrac{1}{4} e multiplicando por -4y y. Portanto a derivada é
\frac{y}{\bigl(1-2y^{2}\bigr)^{1/3}},
que coincide com a integranda. A primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{3}{8}\bigl(1-2y^{2}\bigr)^{2/3}+C

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