De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
Passo 1
O problema pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é
. O resultado deve ser uma primitiva dessa função, ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais constante de integração
.
Passo 2
Observação e escolha do método: a expressão dentro da raiz cúbica é
e seu derivado é
, que é proporcional a
presente no numerador. Isso sugere a substituição por uma nova variável
igual àquela expressão interna. Faço a substituição
Agora calculemos o diferencial
.
Passo 3
Derivando
em relação a
obtemos
Isolando
temos
Também escrevemos a raiz cúbica em termos de
:
Agora substituímos tudo na integral original.
Passo 4
Substituindo
e a raiz cúbica, a integral passa a ser
Ou seja,
Passo 5
Integramos usando a regra da potência: para
,
Aqui
, logo
. Então
Multiplicando pelo fator
obtém-se
Passo 6
Voltando à variável original
(substituindo
) e adicionando a constante de integração
, a primitiva encontrada é
Passo 7
Verificação (checagem rápida): derivando a expressão encontrada:
Calculando os fatores:
e multiplicando por
dá
. Portanto a derivada é
que coincide com a integranda. A primitiva está correta.