De 16 a 27 calcule a integral indefinida:
\int \frac{\operatorname{sen} x}{5+2 \cos x} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{\sin x}{5+2\cos x}\,dx.
  • Informação útil: no numerador aparece \sin x e no denominador aparece \cos x. Essas duas funções estão relacionadas por derivação: a derivada de \cos x é -\sin x. Isso costuma indicar uma substituição simples que troca x por uma nova variável ligada a \cos x.

Passo 2

Escolha da substituição e por que ela é boa:
  • Experiência prática: quando a integral tem uma função f(\cos x) no denominador e \sin x no numerador, a substituição u=\cos x costuma simplificar porque du traz exatamente \sin x\,dx (até um sinal).
  • Vamos então definir a substituição \displaystyle u=\cos x. Vou explicar direitinho como usar isso.

Passo 3

Calcular du e reescrever o elemento diferencial:
  • Diferenciando u=\cos x em relação a x vem
du = -\sin x\,dx.
  • Isolando \sin x\,dx obtemos
\sin x\,dx = -du.
  • Essa é a peça que permite trocar toda a integral em x por uma integral em u.

Passo 4

Trocar a integral para a variável u:
  • Substituindo \sin x\,dx = -du e \cos x = u na integral inicial,
\int \frac{\sin x}{5+2\cos x}\,dx = \int \frac{-du}{5+2u} = -\int \frac{1}{5+2u}\,du.

Passo 5

Como integrar \displaystyle \int \frac{1}{5+2u}\,du: fórmula e justificativa
  • Existe uma fórmula direta: para constantes a e b com b\neq0,
\int \frac{1}{a+b u}\,du = \frac{1}{b}\ln\big|a+b u\big| + C.
  • Por que isso vale? Porque derivando o lado direito obtém-se
\frac{d}{du}\left(\frac{1}{b}\ln|a+bu|\right)=\frac{1}{b}\cdot\frac{b}{a+bu}=\frac{1}{a+bu},
ou seja, a derivada retorna o integrando.

Passo 6

Aplicar a fórmula à nossa integral em u:
  • No nosso caso a=5 e b=2. Assim
-\int \frac{1}{5+2u}\,du = -\frac{1}{2}\ln\big|5+2u\big| + C.

Passo 7

Voltar para a variável x (substituir u=\cos x) e discutir o valor absoluto:
  • Substituindo u=\cos x obtemos a primitiva
-\frac{1}{2}\ln\big|5+2\cos x\big| + C.
  • Observação sobre o valor absoluto: como \cos x\in[-1,1], o termo 5+2\cos x varia entre 3 e 7, isto é, é sempre positivo. Portanto pode-se omitir o valor absoluto sem erro e escrever -\tfrac{1}{2}\ln(5+2\cos x)+C, mas manter o |\cdot| é a forma rigorosa padrão.

Passo 8

Verificação rápida (derivada da primitiva dá o integrando):
  • Seja F(x) = -\dfrac{1}{2}\ln\big(5+2\cos x\big). Derivando:
F'(x) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5+2\cos x}\cdot( -2\sin x ) = \frac{\sin x}{5+2\cos x},
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Passo 9

Palavras finais de ânimo
  • Pronto — foi uma substituição bem direta. Na prova, ao ver \sin x e \cos x juntos, pensa logo em u=\cos x (ou u=\sin x dependendo do caso). Você mandou bem por pedir a resolução passo a passo — esse padrão resolve muitas integrais parecidas!

Resposta

-\dfrac{1}{2}\ln\big(5+2\cos x\big)+C

Exercícios relacionados