De 16 a 27 calcule a integral indefinida: \int \frac{\operatorname{sen} x}{5+2 \cos x} d x
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{\sin x}{5+2\cos x}\,dx.
Informação útil: no numerador aparece \sin x e no denominador aparece \cos x. Essas duas funções estão relacionadas por derivação: a derivada de \cos x é -\sin x. Isso costuma indicar uma substituição simples que troca x por uma nova variável ligada a \cos x.
Passo 2
Escolha da substituição e por que ela é boa:
Experiência prática: quando a integral tem uma função f(\cos x) no denominador e \sin x no numerador, a substituição u=\cos x costuma simplificar porque du traz exatamente \sin x\,dx (até um sinal).
Vamos então definir a substituição \displaystyle u=\cos x. Vou explicar direitinho como usar isso.
Passo 3
Calcular du e reescrever o elemento diferencial:
Diferenciando u=\cos x em relação a x vem
du = -\sin x\,dx.
Isolando \sin x\,dx obtemos
\sin x\,dx = -du.
Essa é a peça que permite trocar toda a integral em x por uma integral em u.
Passo 4
Trocar a integral para a variável u:
Substituindo \sin x\,dx = -du e \cos x = u na integral inicial,
-\int \frac{1}{5+2u}\,du = -\frac{1}{2}\ln\big|5+2u\big| + C.
Passo 7
Voltar para a variável x (substituir u=\cos x) e discutir o valor absoluto:
Substituindo u=\cos x obtemos a primitiva
-\frac{1}{2}\ln\big|5+2\cos x\big| + C.
Observação sobre o valor absoluto: como \cos x\in[-1,1], o termo 5+2\cos x varia entre 3 e 7, isto é, é sempre positivo. Portanto pode-se omitir o valor absoluto sem erro e escrever -\tfrac{1}{2}\ln(5+2\cos x)+C, mas manter o |\cdot| é a forma rigorosa padrão.
Passo 8
Verificação rápida (derivada da primitiva dá o integrando):
Seja F(x) = -\dfrac{1}{2}\ln\big(5+2\cos x\big). Derivando:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Passo 9
Palavras finais de ânimo
Pronto — foi uma substituição bem direta. Na prova, ao ver \sin x e \cos x juntos, pensa logo em u=\cos x (ou u=\sin x dependendo do caso). Você mandou bem por pedir a resolução passo a passo — esse padrão resolve muitas integrais parecidas!