[16.3] Determine se \mathbf{F} é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que \nabla f=\mathbf{F}.
\mathbf{F}(x, y)=\left(y^{2}+\cos (y)\right) \mathbf{i}+(2 y \operatorname{sen}(x)-x \operatorname{sen}(y)) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y)=\bigl(y^{2}+\cos y\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(2y\sin x - x\sin y\bigr)\,\mathbf{j}
é conservativo. Se for, devemos encontrar f(x,y) tal que \nabla f=\mathbf{F}. Para isso, vamos usar o critério em duas variáveis: num domínio simplesmente conectado, \mathbf{F} é conservativo se, e somente se,
\frac{\partial P}{\partial y} \;=\;\frac{\partial Q}{\partial x},
onde P(x,y)=y^{2}+\cos y e Q(x,y)=2y\sin x - x\sin y.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}.
P(x,y)=y^{2}+\cos y
\frac{\partial P}{\partial y} =2y \;-\;\sin y.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}.
Q(x,y)=2y\sin x \;-\;x\sin y
\frac{\partial Q}{\partial x} =2y\cos x \;-\;\sin y.

Passo 4

Comparar \frac{\partial P}{\partial y} e \frac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial P}{\partial y}=2y-\sin y, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x}=2y\cos x-\sin y.
Essas expressões não são iguais para todo (x,y) (faltaria \cos x=1 para coincidir). Logo, o critério de igualdade das derivadas parciais não se satisfaz.

Resposta

\mathbf{F} não é um campo conservativo.

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