Use o Teorema de Green para calcular
\int_{C} \mathbf{F} \bullet d \mathbf{r} (verifique a orientação da curva antes de aplicar o Teorema):
\mathbf{F}(x, y)=\langle y-\cos (y), x \operatorname{sen}(y)\rangle
C é a circunferência (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 orientada no sentido horário

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=\langle y-\cos(y),\,x\sin(y)\rangle
e C é a circunferência (x-3)^{2}+(y+4)^{2}=4 orientada no sentido horário.
Como C é fechada, podemos usar o Teorema de Green, lembrando que a orientação padrão do Teorema de Green é anti-horária.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para a orientação anti-horária
\oint_{C_{\rm ccw}}P\,dx+Q\,dy =\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como C é orientada no sentido horário, temos
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\oint_{C_{\rm ccw}}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.

Passo 3

Identificamos
P(x,y)=y-\cos(y), \quad Q(x,y)=x\sin(y).
Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\sin(y), \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =1+\sin(y).
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\sin(y)-(1+\sin(y)) =-1.

Passo 4

A região R é o disco de raio 2. Então
\iint_{R}(-1)\,dA =-1\cdot \bigl(\text{área do disco de raio }2\bigr) =-1\cdot (4\pi) =-4\pi.á

Passo 5

Voltando ao sinal da orientação horário:
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-\iint_{R}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =-(-4\pi) =4\pi.

Resposta

4\pi

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