[16.6:3,4,5] Identifique a superfície que tem a equação paramétrica dada:
\mathbf{r}(u, v)=u^{2} \mathbf{i}+u \cos (v) \mathbf{j}+u \operatorname{sen}(v) \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá a parametrização \mathbf{r}(u,v)=u^{2}\mathbf{i}+u\cos(v)\mathbf{j}+u\sin(v)\mathbf{k}
e pede para identificar a superfície correspondente, ou seja, achar uma equação em x,y,z.

Passo 2

Da parametrização extraímos x = u^{2},\quad y = u\cos(v),\quad z = u\sin(v).
Em seguida, calculamos
y^{2} + z^{2} = u^{2}\bigl(\cos^{2}(v)+\sin^{2}(v)\bigr)=u^{2}.

Passo 3

Como x = u^{2}, substituindo u^{2}=x na relação anterior, obtemos
y^{2}+z^{2}=x.

Passo 4

A equação \,x = y^{2}+z^{2} é a de um paraboloide de revolução circular, com eixo ao longo do eixo x, abrindo-se para valores crescentes de x.

Resposta

A superfície é um paraboloide circular cuja equação cartesiana é
x = y^{2} + z^{2}.

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