Calcule a integral de linha, sendo C a curva indicada:
[9] \int_{C} x^{2} y d s \quad C: x=\cos (t), y=\operatorname{sen}(t), z=t, 0 \leq t \leq \pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{C} x^{2}y\,ds
ao longo da curva C parametrizada por
x=\cos(t),\quad y=\sin(t),\quad z=t,\quad 0\le t\le\frac{\pi}{2}.
Isso é uma integral de linha em relação ao comprimento de arco, portanto precisaremos da norma da derivada da parametrização para obter ds.

Passo 2

Definimos a parametrização
r(t) = \bigl(\cos(t),\,\sin(t),\,t\bigr).
Então
r'(t) = \bigl(-\sin(t),\,\cos(t),\,1\bigr),
e o elemento de comprimento de arco é
ds = \|r'(t)\|\,dt = \sqrt{\sin^2(t)+\cos^2(t)+1}\,dt = \sqrt{2}\,dt.

Passo 3

Na integral, x^2y = \cos^2(t)\sin(t), logo
\int_{C} x^{2}y\,ds = \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(t)\sin(t)\,\bigl(\sqrt{2}\,dt\bigr) = \sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(t)\sin(t)\,dt.
Fazendo a substituição u=\cos(t), du=-\sin(t)\,dt, temos quando t=0 que u=1 e quando t=\pi/2 que u=0. Assim,
\sqrt{2}\int_{0}^{\pi/2} \cos^2(t)\sin(t)\,dt = -\sqrt{2}\int_{1}^{0} u^2\,du = \sqrt{2}\int_{0}^{1} u^2\,du = \sqrt{2}\,\Bigl[\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}

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