16.50 • Um trem se desloca com velocidade igual a 30,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em um ar calmo. A frequência da nota emitida pelo apito do trem é igual a 352 Hz . Qual é a frequência ouvida por um passageiro no interior de um trem que se move em sentido contrário ao do primeiro trem a 18,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, supondo que: (a) os trens se aproximam; (b) os trens se afastam?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: a frequência da nota emitida pelo apito do trem (fonte) é \,f=352\\ \mathrm{Hz}.
  • Dado: velocidade do trem emissor (fonte) é \,v_s=30{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Dado: velocidade do trem com o passageiro (observador) é \,v_o=18{,}0\\ \mathrm{m/s}.
  • Informação não fornecida explicitamente no enunciado: a velocidade do som no ar. Vou assumir a velocidade do som em ar calmo a 20^\circ\mathrm{C}, isto é \,v=343\\ \mathrm{m/s}. (Esta é uma suposição padrão em muitos exercícios.)
  • O enunciado pede a frequência ouvida pelo passageiro dentro do outro trem nos dois casos:
    • (a) quando os trens se aproximam;
    • (b) quando os trens se afastam.

Passo 2

Explicação teórica (Doppler para som) — vou ensinar passo a passo.
  • Conceito: o efeito Doppler descreve como a frequência percebida por um observador muda quando a fonte e/ou o observador estão em movimento relativo ao meio (ar). Se o observador se aproxima da fonte, ele intercepta mais frentes de onda por segundo → frequência percebida aumenta. Se a fonte se aproxima do observador, as frentes de onda são comprimidas → também aumenta a frequência percebida. Os sinais de aproximação/afastamento determinam sinais na fórmula.
  • Fórmula geral (para ondas sonoras no ar, quando o meio é o ar e ambos se movem em linha reta):
f'=\left(\frac{v \pm v_o}{v \mp v_s}\right) f,
onde:
  • f' é a frequência percebida pelo observador;
  • f é a frequência emitida pela fonte;
  • v é a velocidade do som no meio ( \mathrm{m/s});
  • v_o é a velocidade do observador em relação ao meio ( \mathrm{m/s});
  • v_s é a velocidade da fonte em relação ao meio ( \mathrm{m/s});
  • os sinais: no numerador escolhe-se + se o observador se aproxima da fonte e - se se afasta; no denominador escolhe-se - se a fonte se aproxima do observador e + se a fonte se afasta.
Vou aplicar essa regra explicitamente em cada caso.

Passo 3

Caso (a): trens se aproximam.
  • Situação: o observador (passageiro) está se movendo na direção da fonte → usar + no numerador; a fonte está se movendo em direção ao observador → usar - no denominador. Assim:
f'=\left(\frac{v+v_o}{v-v_s}\right)f.
  • Substituindo os valores ( v=343\\ \mathrm{m/s}, v_o=18{,}0\\ \mathrm{m/s}, v_s=30{,}0\\ \mathrm{m/s}, f=352\\ \mathrm{Hz}):
f'=\left(\frac{343+18{,}0}{343-30{,}0}\right)\cdot 352 =\left(\frac{361}{313}\right)\cdot 352.
  • Faço a multiplicação do numerador exato:
361\cdot 352 = 127072,
logo
f'=\frac{127072}{313}.
  • Dividindo para obter o valor decimal:
f'\approx 405{,}98\\ \mathrm{Hz}.
  • Interpretação física rápida: como ambos se aproximam, o ouvinte percebe uma frequência maior que a emitida.

Passo 4

Caso (b): trens se afastam.
  • Situação: o observador se afasta da fonte → usar - no numerador; a fonte se afasta do observador → usar + no denominador. Assim:
f'=\left(\frac{v-v_o}{v+v_s}\right)f.
  • Substituindo os valores:
f'=\left(\frac{343-18{,}0}{343+30{,}0}\right)\cdot 352 =\left(\frac{325}{373}\right)\cdot 352.
  • Faço a multiplicação do numerador exato:
325\cdot 352 = 114400,
logo
f'=\frac{114400}{373}.
  • Dividindo para obter o valor decimal:
f'\approx 306{,}70\\ \mathrm{Hz}.
  • Interpretação física rápida: como ambos se afastam, a frequência percebida é menor que a emitida.

Passo 5

Observações finais e arredondamento para algarismos significativos.
  • As velocidades foram dadas com três algarismos significativos ( 30{,}0 e 18{,}0) e a frequência com três algarismos ( 352). Portanto faz sentido apresentar a resposta final com três algarismos significativos:
    • (a) f'\approx 406\\ \mathrm{Hz};
    • (b) f'\approx 307\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

(a) 406\\ \mathrm{Hz}
(b) 307\\ \mathrm{Hz}

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