(c) Qual é o comprimento do tubo?
16.64 A frequência da nota \mathrm{F}_{4} é 349 Hz . (a) Se um tubo de um órgão está aberto em uma extremidade e fechado na outra, qual deve ser o comprimento no modo fundamental para produzir essa nota a 20^{\circ} \mathrm{C} ? (b) Qual seria a temperatura do ar para que a frequência fosse de 370 Hz , correspondendo a um aumento da altura de F para \mathrm{F}^{\#} (de fá para fá sustenido)? (Despreze a variação do comprimento do tubo produzida pela variação da temperatura.)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
  • A frequência da nota \mathrm{F}_4 é \,f_1 = 349\\ \mathrm{Hz}.
  • Quer-se um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada (tubo aberto-fechado) no modo fundamental.
  • A temperatura do ar para o item (a) é \,20^\circ\mathrm{C}.
  • No item (b) pede-se a temperatura do ar para que a mesma coluna de ar passe a vibrar com frequência \,f_2 = 370\\ \mathrm{Hz} (mesmo comprimento do tubo, desprezando a variação térmica do comprimento).
Resumindo o que é pedido:
(a) Calcular o comprimento L do tubo no modo fundamental para produzir \,f_1=349\\ \mathrm{Hz} a \,20^\circ\mathrm{C}.
(b) Calcular a temperatura T necessária para que a mesma coluna de ar ressoe a \,f_2=370\\ \mathrm{Hz}, supondo L fixo.

Passo 2

Entendendo a física: modos normais em um tubo aberto em uma extremidade e fechado na outra.
  • Num tubo aberto-fechado, na extremidade fechada há um nó de deslocamento (pressão máxima) e na extremidade aberta há um ventre de deslocamento (pressão mínima).
  • Isso faz com que apenas os harmónicos ímpares existam: n=1,3,5,\dots.
  • A fórmula para as frequências desses modos é
f_n=\frac{n\,v}{4L},
onde:
  • f_n é a frequência do modo com índice n (para o fundamental n=1),
  • v é a velocidade do som no ar (em \mathrm{m/s}),
  • L é o comprimento do tubo (em \mathrm{m}).
  • No modo fundamental usamos n=1, então
f_1=\frac{v}{4L}\quad\Longrightarrow\quad L=\frac{v}{4f_1}.
Aqui expliquei cada símbolo para você poder aplicar direto na prova.

Passo 3

Velocidade do som em função da temperatura (fórmula prática e usada em provas):
v \approx 331 + 0{,}6\,T,
com T em ^\circ\mathrm{C} e v em \mathrm{m/s}. Para T=20^\circ\mathrm{C}:
v_{20}=331+0{,}6\cdot 20 = 331+12 = 343\\ \mathrm{m/s}.
(Isto é o valor padrão que a gente usa: \,343\\ \mathrm{m/s} a 20^\circ\mathrm{C}.)

Passo 4

Calcular o comprimento L no modo fundamental usando \,f_1=349\\ \mathrm{Hz} e \,v_{20}=343\\ \mathrm{m/s}.
L=\frac{v_{20}}{4f_1}=\frac{343}{4\cdot 349}=\frac{343}{1396}\\ \mathrm{m}.
Agora a conta:
\frac{343}{1396}\approx 0{,}245702\\ \mathrm{m}.
Arredondando sensivelmente:
L\approx 0{,}2457\\ \mathrm{m}=24{,}57\\ \mathrm{cm}\approx 24{,}6\\ \mathrm{cm}.
Guarde isto: no modo fundamental o tubo deve ter cerca de 0{,}246\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Para (b): manter L fixo e querer f_2=370\\ \mathrm{Hz}. A relação entre velocidade do som necessária v_2 e a frequência é (a partir de f_1=v/(4L), trocar f por f_2):
v_2 = 4 L f_2.
Uma forma mais prática usando o v_{20} já conhecido é notar que, com L fixo,
\frac{v_2}{v_{20}}=\frac{f_2}{f_1}\quad\Longrightarrow\quad v_2=v_{20}\frac{f_2}{f_1}.

Passo 6

Calcular v_2 numericamente:
v_2 = 343\cdot\frac{370}{349}.
Fazendo a conta:
\frac{370}{349}\approx 1{,}060172,
v_2 \approx 343\cdot 1{,}060172 \approx 363{,}639\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondando, v_2\approx 363{,}64\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 7

Agora relacionar v_2 com a temperatura usando v\approx 331+0{,}6T. Isolando T:
T=\frac{v-331}{0{,}6}.
Substituindo v=v_2:
T=\frac{363{,}639-331}{0{,}6}=\frac{32{,}639}{0{,}6}\approx 54{,}398\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando:
T\approx 54{,}4^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Resumo rápido e dica para a prova (rápido e direto, como gosto de lembrar):
  • Para tubo aberto-fechado: use f_1=v/(4L).
  • Velocidade do som a 20^\circ\mathrm{C} vale 343\\ \mathrm{m/s} pela fórmula 331+0{,}6T.
  • Se precisar mudar a frequência mantendo L fixo, a velocidade deve mudar na mesma proporção da frequência: v\propto f.
  • E um toque prático: chegar a uma subida de F para F# exige uma temperatura bem maior (aqui algo como 54^\circ\mathrm{C}), coisa que não é comum na prática, por isso instrumentos reais usam outros ajustes.

Resposta

(a) L \approx 0{,}2457\\ \mathrm{m} ( \approx 24{,}57\\ \mathrm{cm}).
(b) T \approx 54{,}4^\circ\mathrm{C}.

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