(c) Qual é o comprimento do tubo?
16.64 A frequência da nota
é 349 Hz . (a) Se um tubo de um órgão está aberto em uma extremidade e fechado na outra, qual deve ser o comprimento no modo fundamental para produzir essa nota a
? (b) Qual seria a temperatura do ar para que a frequência fosse de 370 Hz , correspondendo a um aumento da altura de F para
(de fá para fá sustenido)? (Despreze a variação do comprimento do tubo produzida pela variação da temperatura.)
16.64 A frequência da nota
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
- A frequência da nota
é . - Quer-se um tubo com uma extremidade aberta e a outra fechada (tubo aberto-fechado) no modo fundamental.
- A temperatura do ar para o item (a) é
. - No item (b) pede-se a temperatura do ar para que a mesma coluna de ar passe a vibrar com frequência
(mesmo comprimento do tubo, desprezando a variação térmica do comprimento).
Resumindo o que é pedido:
(a) Calcular o comprimento do tubo no modo fundamental para produzir
a
.
(b) Calcular a temperatura necessária para que a mesma coluna de ar ressoe a
, supondo
fixo.
(a) Calcular o comprimento
(b) Calcular a temperatura
Passo 2
Entendendo a física: modos normais em um tubo aberto em uma extremidade e fechado na outra.
- Num tubo aberto-fechado, na extremidade fechada há um nó de deslocamento (pressão máxima) e na extremidade aberta há um ventre de deslocamento (pressão mínima).
- Isso faz com que apenas os harmónicos ímpares existam:
. - A fórmula para as frequências desses modos é
onde:
-
é a frequência do modo com índice (para o fundamental ), -
é a velocidade do som no ar (em ), -
é o comprimento do tubo (em ). - No modo fundamental usamos
, então
Aqui expliquei cada símbolo para você poder aplicar direto na prova.
Passo 3
Velocidade do som em função da temperatura (fórmula prática e usada em provas):
com
em
e
em
. Para
:
(Isto é o valor padrão que a gente usa:
a
.)
Passo 4
Calcular o comprimento
no modo fundamental usando
e
.
Agora a conta:
Arredondando sensivelmente:
Guarde isto: no modo fundamental o tubo deve ter cerca de
.
Passo 5
Para (b): manter
fixo e querer
. A relação entre velocidade do som necessária
e a frequência é (a partir de
, trocar
por
):
Uma forma mais prática usando o
já conhecido é notar que, com
fixo,
Passo 6
Calcular
numericamente:
Fazendo a conta:
(Arredondando,
.)
Passo 7
Agora relacionar
com a temperatura usando
. Isolando
:
Substituindo
:
Arredondando:
Passo 8
Resumo rápido e dica para a prova (rápido e direto, como gosto de lembrar):
- Para tubo aberto-fechado: use
. - Velocidade do som a
vale pela fórmula . - Se precisar mudar a frequência mantendo
fixo, a velocidade deve mudar na mesma proporção da frequência: . - E um toque prático: chegar a uma subida de F para F# exige uma temperatura bem maior (aqui algo como
), coisa que não é comum na prática, por isso instrumentos reais usam outros ajustes.
Resposta
(a)
(
).
(b) .
(b)