ISOLANDO JANELAS. Uma forma de melhorar o isolamento nas janelas é encher um espaço lacrado entre dois painéis de vidro com um gás que possui condutividade térmica mais baixa que a do ar. A condutividade térmica k de um gás depende de seu calor específico molar C_{V}, massa molar M e raio molecular r. A dependência dessas grandezas em determinada temperatura é aproximada por k \propto C_{V} / r^{2} \sqrt{M}. Os gases nobres possuem propriedades que os tornam escolhas particularmente boas como gases isolantes. Os gases nobres variam desde o hélio (massa molar 4,0 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, raio molecular 0,13 \mathrm{~nm} ) ao xenônio (massa molar 131 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}, raio molecular 0,22 \mathrm{~nm} ). (O gás nobre radônio é mais pesado que o xenônio, mas o radônio é radioativo e, portanto, não é adequado para essa finalidade.)
18.87 A taxa de efusão - ou seja, o vazamento de um gás por pequenas fendas - é proporcional a v_{\text {rmq }}. Se houver pequenas fendas no material usado para lacrar o espaço entre dois painéis de vidro, quantas vezes a taxa de vazamento do espaço entre os painéis é maior para o He que para o Xe, na mesma temperatura? (a) 370 vezes; (b) 19 vezes; (c) 6 vezes; (d) não é maior - a taxa de vazamento do He é a mesma que para o Xe.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado diz que a taxa de efusão (vazamento por pequenas fendas) é proporcional à velocidade quadrática média, isto é, à velocidade RMS, indicada por v_{\text{rms}}.
  • Dados numéricos fornecidos:
    • Massa molar do hélio: M_{\mathrm{He}} = 4{,}0\\ \mathrm{g/mol}.
    • Massa molar do xenônio: M_{\mathrm{Xe}} = 131\\ \mathrm{g/mol}.
  • O enunciado pergunta: “Quantas vezes a taxa de vazamento do espaço entre os painéis é maior para o He que para o Xe, na mesma temperatura?” Em outras palavras, calcular a razão \frac{\text{taxa de efusão do He}}{\text{taxa de efusão do Xe}},ããsabendo que cada taxa é proporcional a v_{\text{rms}}.

Passo 2

Entender a relação entre v_{\text{rms}} e a massa: a teoria cinética dos gases nos dá a fórmula para a velocidade quadrática média (velocidade RMS) de moléculas a uma temperatura T. Escrevendo com a constante dos gases R e a massa molar M, a fórmula é
v_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{3 R T}{M}}.
Explicando cada símbolo:
  • v_{\text{rms}} é a velocidade RMS (raiz da média dos quadrados das velocidades) das moléculas.
  • R é a constante universal dos gases ideais ( R aparece quando se usa massa molar M); seu valor não precisa ser usado numericamente aqui.
  • T é a temperatura absoluta (mesma para ambos os gases, segundo o enunciado).
  • M é a massa molar da substância (em unidades consistentes, por exemplo \mathrm{kg/mol} ou \mathrm{g/mol} desde que iguais para os dois gases).
Importante: como ambas as espécies estão à mesma temperatura, T é igual para as duas e, ao formar uma razão de velocidades, T (e R e o fator 3) vão cancelar — por isso a razão depende apenas das massas molares.

Passo 3

Relacionar a razão das taxas de efusão com as massas molares. Como a taxa de efusão é proporcional a v_{\text{rms}}, temos
\frac{\text{taxa}_{\mathrm{He}}}{\text{taxa}_{\mathrm{Xe}}} = \frac{v_{\text{rms,He}}}{v_{\text{rms,Xe}}} = \frac{\sqrt{\dfrac{3RT}{M_{\mathrm{He}}}}}{\sqrt{\dfrac{3RT}{M_{\mathrm{Xe}}}}}.
Cancelando 3RT dentro das raízes, obtemos a forma simples
\frac{\text{taxa}_{\mathrm{He}}}{\text{taxa}_{\mathrm{Xe}}} = \sqrt{\frac{M_{\mathrm{Xe}}}{M_{\mathrm{He}}}}.
Ou seja: a razão é a raiz quadrada da razão das massas molares (note que é M_{\mathrm{Xe}} sobre M_{\mathrm{He}} porque gás mais leve tem velocidade maior).

Passo 4

Substituir os valores numéricos. Podemos usar as massas em \mathrm{g/mol} diretamente porque o fator de conversão (10^{-3}\\ \mathrm{kg/g}) cancela; portanto
\frac{\text{taxa}_{\mathrm{He}}}{\text{taxa}_{\mathrm{Xe}}} = \sqrt{\frac{131}{4{,}0}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{131}{4{,}0}=32{,}75.
Agora a raiz quadrada:
\sqrt{32{,}75}\approx 5{,}72\\ (\text{aproximação}).çã
Verificação rápida: 5{,}72^2=32{,}7184, bem próximo de 32{,}75, então a aproximação está boa.
Assim, a taxa de vazamento do He é aproximadamente 5{,}72 vezes maior que a do Xe.

Passo 5

Interpretação final em termos das opções de múltipla escolha: 5{,}72 é bem próximo de 6. Entre as alternativas dadas — (a) 370 vezes, (b) 19 vezes, (c) 6 vezes, (d) mesma taxa — a alternativa correta é a que corresponde a aproximadamente 6 vezes, ou seja a alternativa (c).
Um lembrete amigável: intuitivamente, gases mais leves (como o hélio) têm velocidades médias maiores à mesma temperatura, por isso escapam mais rapidamente por pequenas fendas.

Resposta

(c) 6 vezes

Exercícios relacionados