ISOLANDO JANELAS. Uma forma de melhorar o isolamento nas janelas é encher um espaço lacrado entre dois painéis de vidro com um gás que possui condutividade térmica mais baixa que a do ar. A condutividade térmica
de um gás depende de seu calor específico molar
, massa molar
e raio molecular
. A dependência dessas grandezas em determinada temperatura é aproximada por
. Os gases nobres possuem propriedades que os tornam escolhas particularmente boas como gases isolantes. Os gases nobres variam desde o hélio (massa molar
, raio molecular
) ao xenônio (massa molar
, raio molecular
). (O gás nobre radônio é mais pesado que o xenônio, mas o radônio é radioativo e, portanto, não é adequado para essa finalidade.)
18.87 A taxa de efusão - ou seja, o vazamento de um gás por pequenas fendas - é proporcional a
. Se houver pequenas fendas no material usado para lacrar o espaço entre dois painéis de vidro, quantas vezes a taxa de vazamento do espaço entre os painéis é maior para o He que para o Xe, na mesma temperatura? (a) 370 vezes; (b) 19 vezes; (c) 6 vezes; (d) não é maior - a taxa de vazamento do He é a mesma que para o Xe.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado diz que a taxa de efusão (vazamento por pequenas fendas) é proporcional à velocidade quadrática média, isto é, à velocidade RMS, indicada por
. - Dados numéricos fornecidos:
- Massa molar do hélio:
. - Massa molar do xenônio:
.
- Massa molar do hélio:
- O enunciado pergunta: “Quantas vezes a taxa de vazamento do espaço entre os painéis é maior para o He que para o Xe, na mesma temperatura?” Em outras palavras, calcular a razão
sabendo que cada taxa é proporcional a .
Passo 2
Entender a relação entre
e a massa: a teoria cinética dos gases nos dá a fórmula para a velocidade quadrática média (velocidade RMS) de moléculas a uma temperatura
. Escrevendo com a constante dos gases
e a massa molar
, a fórmula é
Explicando cada símbolo:
-
é a velocidade RMS (raiz da média dos quadrados das velocidades) das moléculas. -
é a constante universal dos gases ideais ( aparece quando se usa massa molar ); seu valor não precisa ser usado numericamente aqui. -
é a temperatura absoluta (mesma para ambos os gases, segundo o enunciado). -
é a massa molar da substância (em unidades consistentes, por exemplo ou desde que iguais para os dois gases).
Importante: como ambas as espécies estão à mesma temperatura,
é igual para as duas e, ao formar uma razão de velocidades,
(e
e o fator
) vão cancelar — por isso a razão depende apenas das massas molares.
Passo 3
Relacionar a razão das taxas de efusão com as massas molares. Como a taxa de efusão é proporcional a
, temos
Cancelando
dentro das raízes, obtemos a forma simples
Ou seja: a razão é a raiz quadrada da razão das massas molares (note que é
sobre
porque gás mais leve tem velocidade maior).
Passo 4
Substituir os valores numéricos. Podemos usar as massas em
diretamente porque o fator de conversão
cancela; portanto
Calculemos passo a passo:
Agora a raiz quadrada:
Verificação rápida:
, bem próximo de
, então a aproximação está boa.
Assim, a taxa de vazamento do He é aproximadamente
vezes maior que a do Xe.
Passo 5
Interpretação final em termos das opções de múltipla escolha:
é bem próximo de
. Entre as alternativas dadas — (a)
vezes, (b)
vezes, (c)
vezes, (d) mesma taxa — a alternativa correta é a que corresponde a aproximadamente
vezes, ou seja a alternativa (c).
Um lembrete amigável: intuitivamente, gases mais leves (como o hélio) têm velocidades médias maiores à mesma temperatura, por isso escapam mais rapidamente por pequenas fendas.
Resposta
(c) 6 vezes