EXERCÍCIOS
A menos que haja alguma indicação em contrário, suponha que a velocidade do som no ar possua módulo v=344 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
Seção 16.1 Ondas sonora
16.1 • O Exemplo 16.1 (Seção 16.1) mostrou que, em ondas sonoras deslocando-se no ar com frequência de 1.000 Hz , uma amplitude de deslocamento igual a 1,2 \times 10^{-8} \mathrm{~m} produz uma amplitude de pressão igual a 3,0 \times 10^{-2} \mathrm{~Pa}. (a) Qual é o comprimento de onda dessas ondas? (b) Para uma onda de 1.000 Hz no ar, qual é a amplitude de deslocamento necessária para que a amplitude da pressão esteja no limiar da dor, que corresponde a 30 Pa ? (c) Em qual comprimento de onda e frequência uma onda com amplitude de deslocamento igual a 1,2 \times 10^{-8} \mathrm{~m} produziria uma amplitude de pressão igual a 1,5 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} ?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Dados fornecidos:
    • velocidade do som no ar: v=344\\ \mathrm{m/s}.
    • Para ondas sonoras de frequência f_1=1000\\ \mathrm{Hz}:
      • amplitude de deslocamento: s_1=1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
      • amplitude de pressão correspondente: p_1=3,0\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa}.
  • Perguntas:
    • (a) Qual é o comprimento de onda \lambda dessas ondas (isto é para f=1000\\ \mathrm{Hz})?
    • (b) Para uma onda de f=1000\\ \mathrm{Hz}, qual amplitude de deslocamento s é necessária para que a amplitude de pressão seja 30\\ \mathrm{Pa} (limiar da dor)?
    • (c) Se a amplitude de deslocamento for s=1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{m}, para que frequência f e comprimento de onda \lambda a amplitude de pressão seja 1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}?

Passo 2

Fórmula física e explicação passo a passo (aula curta e prática).
  • Modelo físico: para uma onda sonora plana e longitudinal no ar, a amplitude da variação de pressão p_{\max} (o que chamamos amplitude de pressão) está ligada à amplitude do deslocamento dos partículas do ar s_{\max} por
p_{\max}=\rho\,v\,\omega\,s_{\max},
onde:
  • \rho é a massa volúmica (densidade) do ar \\ (\mathrm{kg/m^3});
  • v é a velocidade de propagação da onda (aqui v=344\\ \mathrm{m/s});
  • \omega é a frequência angular da onda \\ (\mathrm{rad/s}), relacionada à frequência f por \omega=2\pi f;
  • s_{\max} é a amplitude do deslocamento das partículas do ar (m);
  • p_{\max} é a amplitude da pressão (Pa).
Por que essa fórmula? Rápido raciocínio físico:
  • Se a posição das partículas é s(x,t)=s_{\max}\cos(kx-\omega t), a velocidade das partículas é u=\partial s/\partial t=\omega s_{\max}\sin(\dots), então a amplitude da velocidade de partícula é u_{\max}=\omega s_{\max}.
  • Num plano progressivo, a amplitude da pressão e a amplitude da velocidade de partícula estão relacionadas pela impedância acústica característica Z=\rho v: p_{\max}=Z\,u_{\max}=\rho v(\omega s_{\max}). Daí a fórmula acima.
Observação prática: se \omega e s_{\max} mudam, p_{\max} muda proporcionalmente; se \omega é a mesma para dois casos, p_{\max} é proporcional a s_{\max}.

Passo 3

Resolvendo (a) — comprimento de onda para f=1000\\ \mathrm{Hz}.
Relação básica entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
\lambda=\frac{v}{f}.
Substituindo v=344\\ \mathrm{m/s} e f=1000\\ \mathrm{Hz}:
\lambda=\frac{344}{1000}=0,344\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Verificação e cálculo da densidade efetiva (opcional, mas útil para entender os números).
Usando a fórmula p_{\max}=\rho v \omega s_{\max} com os dados iniciais podemos obter \rho:
\rho=\frac{p_1}{v\,\omega_1\,s_1} \qquad\text{com}\qquad \omega_1=2\pi f_1=2\pi(1000).
Substituindo os valores:
\rho=\frac{3,0\times10^{-2}}{344\cdot(2\pi\cdot1000)\cdot(1,2\times10^{-8})} \approx1,16\\ \mathrm{kg/m^3}.
Comentário: esse valor está próximo da densidade típica do ar, o que confirma que a fórmula e os números fazem sentido.

Passo 5

Resolvendo (b) — amplitude de deslocamento necessária para p_{\max}=30\\ \mathrm{Pa} à mesma frequência f=1000\\ \mathrm{Hz}.
Como f (logo \omega) é a mesma que no caso inicial, a relação entre pressão e deslocamento é linear com a mesma constante \rho v\omega. Assim podemos usar proporção direta:
\frac{p_2}{p_1}=\frac{s_2}{s_1} \quad\Rightarrow\quad s_2=s_1\frac{p_2}{p_1}.
Substituindo s_1=1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{m}, p_1=3,0\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa} e p_2=30\\ \mathrm{Pa}:
s_2=1,2\times10^{-8}\cdot\frac{30}{3,0\times10^{-2}} =1,2\times10^{-8}\cdot1000 =1,2\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Portanto é necessária uma amplitude de deslocamento muito maior que no caso suave: 1,2\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (alguns dezenas de micrômetros).

Passo 6

Resolvendo (c) — dado s=1,2\times10^{-8}\\ \mathrm{m} e p_{\max}=1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}, encontrar f e \lambda.
Usamos novamente p_{\max}=\rho v \omega s. Mantendo s fixo, \omega é proporcional a p_{\max}:
\omega=\frac{p_{\max}}{\rho v s}.
Mas podemos usar a razão em relação ao caso conhecido (onde \omega_1=2\pi f_1):
\frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{p_2}{p_1}.
Assim f_2=f_1\cdot\frac{p_2}{p_1}. Substituindo f_1=1000\\ \mathrm{Hz}, p_1=3,0\times10^{-2}\\ \mathrm{Pa} e p_2=1,5\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa}:
f_2=1000\cdot\frac{1,5\times10^{-3}}{3,0\times10^{-2}} =1000\cdot0,05 =50\\ \mathrm{Hz}.
Agora o comprimento de onda correspondente:
\lambda_2=\frac{v}{f_2}=\frac{344}{50}=6,88\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) \lambda=0,344\\ \mathrm{m}
(b) s=1,2\times10^{-5}\\ \mathrm{m}
(c) \lambda=6,88\\ \mathrm{m}
\;f=50\\ \mathrm{Hz}

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