3 - Um homem bate com um martelo na ponta de uma barra delgada. A velocidade do som na barra é 15 vezes maior que a velocidade do som no ar. Uma mulher na outra extremidade, com o ouvido próximo da barra, escuta o som da pancada duas vezes, com um intervalo de 0,12 \mathrm{~s}; um som vem na barra e outro vem do ar em torno da barra. Se a velocidade do som no ar é 343 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, qual é o comprimento da barra?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades numéricas foram retiradas do texto do problema):
  • A velocidade do som no ar é v_{\text{ar}} = 343\\ \mathrm{m/s}.
  • A velocidade do som na barra é 15 vezes maior que no ar.
  • A mulher, na outra extremidade da barra, escuta dois sons separados por um intervalo de \,0,12\\ \mathrm{s}: um som que viaja pela barra e outro que viaja pelo ar.
    O que o problema pede:
  • Determinar o comprimento da barra, que denotaremos por L.

Passo 2

Vamos definir variáveis e a ideia física básica que vamos usar.
  • L = comprimento da barra (o que queremos achar), em metros.
  • v_{\text{ar}} = 343\\ \mathrm{m/s} = velocidade do som no ar.
  • v_{\text{barra}} = velocidade do som na barra.
  • t_{\text{ar}} = tempo que o som leva para ir da pancada até a mulher pelo ar.
  • t_{\text{barra}} = tempo que o som leva para ir pela barra até a mulher.
Princípio usado (fórmula básica de movimento uniforme): o tempo é a distância dividida pela velocidade. Ou seja, para qualquer trajeto de comprimento d e velocidade v,
t=\frac{d}{v}.

Passo 3

Escrevendo os tempos dos dois caminhos:
t_{\text{ar}}=\frac{L}{v_{\text{ar}}},\qquad t_{\text{barra}}=\frac{L}{v_{\text{barra}}}.
Como a mulher escuta os dois sons com intervalo de \,0,12\\ \mathrm{s}, e como o som pela barra é mais rápido (portanto chega primeiro), o intervalo é
t_{\text{ar}}-t_{\text{barra}}=0,12.
Substituindo as expressões de t_{\text{ar}} e t_{\text{barra}},
\frac{L}{v_{\text{ar}}}-\frac{L}{v_{\text{barra}}}=0,12.

Passo 4

Calculemos v_{\text{barra}}. O enunciado diz que é 15 vezes v_{\text{ar}}, logo
v_{\text{barra}}=15\cdot v_{\text{ar}}=15\cdot 343 = 5145\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Colocando os valores na equação e isolando L. Da equação
L\left(\frac{1}{v_{\text{ar}}}-\frac{1}{v_{\text{barra}}}\right)=0,12
temos
L = \frac{0,12}{\dfrac{1}{v_{\text{ar}}}-\dfrac{1}{v_{\text{barra}}}}.
Usando a identidade \dfrac{1}{v_{\text{ar}}}-\dfrac{1}{v_{\text{barra}}}=\dfrac{v_{\text{barra}}-v_{\text{ar}}}{v_{\text{ar}}\,v_{\text{barra}}}, obtemos uma forma conveniente
L = 0,12\cdot\frac{v_{\text{ar}}\,v_{\text{barra}}}{v_{\text{barra}}-v_{\text{ar}}}.

Passo 6

Agora substituímos os números:
v_{\text{ar}}\,v_{\text{barra}} = 343\cdot 5145.
Fazendo a multiplicação em partes:
343\cdot 5000 = 1\,715\,000,\qquad 343\cdot 145 = 49\,735,
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343\cdot 5145 = 1\,764\,735.
E
v_{\text{barra}}-v_{\text{ar}} = 5145-343 = 4802.
Portanto
\frac{v_{\text{ar}}\,v_{\text{barra}}}{v_{\text{barra}}-v_{\text{ar}}}=\frac{1\,764\,735}{4802}.
Fazendo a divisão observa-se que 4802\cdot 367 = 1\,762\,334 com resto 2\,401, e como 2\,401 é exatamente metade de 4802 temos
\frac{1\,764\,735}{4802}=367{,}5.
Então
L = 0,12\cdot 367{,}5 = 44{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final: a barra é bastante longa (aproximadamente 44{,}1\\ \mathrm{m}). Faz sentido fisicamente porque o diferencial de tempo de \,0,12\\ \mathrm{s} corresponde a uma diferença de trajetos eficaz entre os dois meios quando um dos meios é 15 vezes mais rápido.

Resposta

44{,}1\\ \mathrm{m}

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