3 - Um homem bate com um martelo na ponta de uma barra delgada. A velocidade do som na barra é 15 vezes maior que a velocidade do som no ar. Uma mulher na outra extremidade, com o ouvido próximo da barra, escuta o som da pancada duas vezes, com um intervalo de
; um som vem na barra e outro vem do ar em torno da barra. Se a velocidade do som no ar é
, qual é o comprimento da barra?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (todas as quantidades numéricas foram retiradas do texto do problema):
- A velocidade do som no ar é
. - A velocidade do som na barra é 15 vezes maior que no ar.
- A mulher, na outra extremidade da barra, escuta dois sons separados por um intervalo de
: um som que viaja pela barra e outro que viaja pelo ar.
O que o problema pede: - Determinar o comprimento da barra, que denotaremos por
.
Passo 2
Vamos definir variáveis e a ideia física básica que vamos usar.
-
= comprimento da barra (o que queremos achar), em metros. -
= velocidade do som no ar. -
= velocidade do som na barra. -
= tempo que o som leva para ir da pancada até a mulher pelo ar. -
= tempo que o som leva para ir pela barra até a mulher.
Princípio usado (fórmula básica de movimento uniforme): o tempo é a distância dividida pela velocidade. Ou seja, para qualquer trajeto de comprimento
e velocidade
,
Passo 3
Escrevendo os tempos dos dois caminhos:
Como a mulher escuta os dois sons com intervalo de
, e como o som pela barra é mais rápido (portanto chega primeiro), o intervalo é
Substituindo as expressões de
e
,
Passo 4
Calculemos
. O enunciado diz que é 15 vezes
, logo
Passo 5
Colocando os valores na equação e isolando
. Da equação
temos
Usando a identidade
, obtemos uma forma conveniente
Passo 6
Agora substituímos os números:
Fazendo a multiplicação em partes:
logo
E
Portanto
Fazendo a divisão observa-se que
com resto
, e como
é exatamente metade de
temos
Então
Passo 7
Interpretação final: a barra é bastante longa (aproximadamente
). Faz sentido fisicamente porque o diferencial de tempo de
corresponde a uma diferença de trajetos eficaz entre os dois meios quando um dos meios é 15 vezes mais rápido.