(c) F A D A_{16}+C A F E_{16} na base 16 .
18. Se você fosse um(a) professor(a) de matemática num planeta de alienígenas que possuem um total de 6 dedos ( 3 em cada mão) e usasse sistema numérico em base 6 , como ensinaria as crianças alienígenas a fazer, por exemplo, a soma 153445_{6}+524335_{6} ? Ensine-os na base 6 , do jeito que você aprendeu aqui no planeta Terra com base 10.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • Pedido 1: calcular \,FADA_{16}+CAFE_{16}\, na base 16.
  • Pedido 2: ensinar como somar em base 6 e calcular \,153445_{6}+524335_{6}\, (fazendo a conta na base 6, passo a passo, do jeito que se ensina a soma em base 10).
Informações importantes dadas:
  • Para a soma na base 16: os operandos são \,FADA_{16} e \,CAFE_{16}.
  • Para a soma na base 6: os operandos são \,153445_{6} e \,524335_{6}.

Passo 2

Entendendo a soma em base 16 (regras e conversões de dígitos).
  • Em base 16 (hexadecimal) os dígitos válidos e seus valores decimais são: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,Fcom A=10,\; B=11,\; C=12,\; D=13,\; E=14,\; F=15.
  • Regra de soma: soma-se coluna a coluna (da direita para a esquerda). Se a soma de uma coluna for maior ou igual a 16, escreve-se o resto da divisão por 16 nessa coluna e transporta-se (carrega-se) a parte inteira da divisão por 16 para a coluna seguinte (à esquerda).
  • Exemplo abstrato: se numa coluna a soma for s, então o dígito resultado é s \bmod 16 e o carry é \lfloor s/16\rfloor.

Passo 3

Fazer a soma \,FADA_{16}+CAFE_{16}\, coluna a coluna (da direita para a esquerda). Vou escrever cada soma com a conversão decimal para ficar claro.
Alinhando:
\begin{array}{r} F\;A\;D\;A_{16}\\\\ +\;C\;A\;F\;E_{16}\\hline \end{array}
Coluna 1 (direita): \,A+E\,.
A = 10,\qquad E = 14
10+14 = 24
Agora converter 24 para “quociente e resto” na base 16:
24 = 1\cdot16 + 8.
Logo, escrevemos o dígito \,8\, e transportamos (carry) 1.
Coluna 2: \,D+F+\text{carry }1\,.
D=13,\qquad F=15
13+15+1 = 29
Converter 29 em base 16:
29 = 1\cdot16 + 13.
O resto 13 corresponde ao dígito \,D\,. Escrevemos \,D\, e transportamos 1.
Coluna 3: \,A+A+\text{carry }1\,.
A=10
10+10+1 = 21
Converter 21 em base 16:
21 = 1\cdot16 + 5.
Escrevemos \,5\, e transportamos 1.
Coluna 4 (esquerda): \,F+C+\text{carry }1\,.
F=15,\qquad C=12
15+12+1 = 28
Converter 28 em base 16:
28 = 1\cdot16 + 12.
O resto 12 corresponde a \,C\,. Escrevemos \,C\, e há um carry 1 que vira novo dígito mais à esquerda.
Agora juntando os dígitos da esquerda para a direita (incluindo o carry final):
o resultado é \,1\,C\,5\,D\,8_{16}.

Passo 4

Verificação rápida (opcional mas didática): converter cada hexadecimal para decimal e somar para checar.
FADA_{16} = 15\cdot 16^{3} + 10\cdot 16^{2} + 13\cdot16 +10 = 64218.
CAFE_{16} = 12\cdot16^{3} + 10\cdot16^{2} +15\cdot16 +14 = 51966.
64218 + 51966 = 116184.
Converter 1C5D8_{16} para decimal:
1\cdot16^{4}+12\cdot16^{3}+5\cdot16^{2}+13\cdot16+8 = 116184.
Confere: resultado correto é \,1C5D8_{16}.

Passo 5

Agora: ensinar e fazer a soma em base 6. Regras e analogia com base 10.
  • Em base 6 os dígitos válidos são 0,1,2,3,4,5.
  • Regra de soma (igual à de base 10 mas com “base” 6): soma-se coluna a coluna (da direita para a esquerda). Se a soma em uma coluna for maior ou igual a 6, escreve-se o resto da divisão por 6 nessa coluna e transporta-se \lfloor s/6\rfloor para a coluna à esquerda.
  • Exemplo prático: se numa coluna s=8 (em decimal), então 8 = 1\cdot6 + 2, escreve-se 2 e carrega-se 1.

Passo 6

Fazer a soma \,153445_{6} + 524335_{6} coluna a coluna (direita para esquerda). Alinhar os números:
\begin{array}{r} 1\;5\;3\;4\;4\;5_{6}\\\\ +\;5\;2\;4\;3\;3\;5_{6}\\hline \end{array}
Vou numerar as colunas da direita para a esquerda e calcular cada uma:
Coluna 1 (direita): \,5+5\,.
5+5 = 10\\ (\text{decimal}).
Escrever em base 6:
10 = 1\cdot6 + 4.
Resultado da coluna: dígito \,4\,. Carry 1.
Coluna 2: \,4+3+\text{carry }1\,.
4+3+1 = 8.
Converter para base 6:
8 = 1\cdot6 + 2.
Dígito \,2\,. Carry 1.
Coluna 3: \,4+3+\text{carry }1\,.
4+3+1 = 8 = 1\cdot6 + 2.
Dígito \,2\,. Carry 1.
Coluna 4: \,3+4+\text{carry }1\,.
3+4+1 = 8 = 1\cdot6 + 2.
Dígito \,2\,. Carry 1.
Coluna 5: \,5+2+\text{carry }1\,.
5+2+1 = 8 = 1\cdot6 + 2.
Dígito \,2\,. Carry 1.
Coluna 6 (esquerda): \,1+5+\text{carry }1\,.
1+5+1 = 7.
Converter:
7 = 1\cdot6 + 1.
Dígito \,1\,. Carry 1.
Não há mais colunas: o carry final 1 vira novo dígito mais à esquerda.
Montando os dígitos da esquerda para a direita (incluindo o carry final): \,1\,1\,2\,2\,2\,2\,4_{6}.

Passo 7

Verificação rápida em decimal (para ter certeza e aprender a checar resultados).
  • Converter os somandos para decimal:
153445_{6} = 1\cdot6^{5}+5\cdot6^{4}+3\cdot6^{3}+4\cdot6^{2}+4\cdot6 + 5 = 15077.
524335_{6} = 5\cdot6^{5}+2\cdot6^{4}+4\cdot6^{3}+3\cdot6^{2}+3\cdot6 + 5 = 42467.
Soma decimal:
15077 + 42467 = 57544.
Converter o resultado obtido \,1122224_{6} para decimal:
1122224_{6} = 1\cdot6^{6}+1\cdot6^{5}+2\cdot6^{4}+2\cdot6^{3}+2\cdot6^{2}+2\cdot6 +4 = 57544.
Confere perfeitamente.

Passo 8

Dicas didáticas finais (como eu ensinaria para crianças-alienígenas com 6 dedos):
  • Mostre os dedos e conte até 5 para explicar que os símbolos válidos são 0 a 5.
  • Mostre que em base 6 “quando passa de 5” volta para 0 e soma 1 na casa seguinte (igual a como crianças em base 10 aprendem que depois de 9 vem 0 com carry 1).
  • Pratique com somas simples sem carry, depois com uma coluna com carry, e depois com várias colunas com carry encadeado (como este exemplo).
  • Sempre faça a soma da direita para a esquerda e explique claramente o que é “resto” e o que é “transportar”.

Resposta

\,FADA_{16}+CAFE_{16}=1C5D8_{16}
\,153445_{6}+524335_{6}=1122224_{6}

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