(2,0 pontos) Considere os vetores v_{1}=(1,0,0), v_{2}=(2,1,0), v_{3}=(5,-3,0) \mathrm{e} v_{4}=(-4,-5,1) do espaço \mathbb{R}^{3} e W=\left[v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right]. Mostre que v_{1}, v_{2}, v_{3} e v_{4} são vetores linearmente dependentes e dê exemplo de uma base de W contida em \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\right\}, mostrando que seu exemplo satisfaz essas condições.

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores de \mathbb{R}^3:
v_{1}=(1,0,0),\quad v_{2}=(2,1,0),\quad v_{3}=(5,-3,0),\quad v_{4}=(-4,-5,1),
e define W=\left[ v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right] (o subespaço gerado por esses vetores). As tarefas são:
  • Mostrar que v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente dependentes.
  • Dar um exemplo de uma base de W que esteja contida no conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} e mostrar que esse exemplo realmente é uma base de W.

Passo 2

Vou lembrar (explicar) o que significa cada conceito, bem devagar e com jeitinho:
  • Linearmente dependentes: os vetores u_1,\dots,u_k são linearmente dependentes se existem escalares, nem todos zero, a_1,\dots,a_k tais que
a_1 u_1 + \cdots + a_k u_k = 0.
Se a única solução para essa soma ser zero é a_1=\cdots=a_k=0, então os vetores são linearmente independentes.
  • Base de um subespaço S: é um conjunto de vetores que (i) é linearmente independente e (ii) gera S (ou seja, o span deles é S). Em \mathbb{R}^3 qualquer conjunto de três vetores linearmente independente forma uma base de \mathbb{R}^3.
Essas definições guiam nosso trabalho: para mostrar dependência posso encontrar uma relação linear explícita entre os v_i; para exhibir uma base contida no conjunto dado, preciso apresentar um subconjunto que seja independente e que gere W.

Passo 3

Procuro uma relação linear entre v_1,v_2,v_3. Quero escrever v_3 como combinação linear de v_1 e v_2, ou seja, encontrar a,b tais que
a v_1 + b v_2 = v_3.
Escrevendo coordenada a coordenada:
  • Componente x: a + 2b = 5.
  • Componente y: 0 + b = -3, ou seja b=-3.
  • Componente z: 0+0=0 (coincide com a de v_3).
Como b=-3, da primeira equação obtemos a + 2(-3) = 5, logo a -6 =5 e assim a=11.
Portanto
v_3 = 11\,v_1 - 3\,v_2.
Isto é uma relação linear não trivial entre v_1,v_2,v_3 (os coeficientes 11 e -3 não são ambos zero). Logo v_1,v_2,v_3 são linearmente dependentes. Como v_1,v_2,v_3 é um subconjunto de \{v_1,v_2,v_3,v_4\}, segue que v_1,v_2,v_3,v_4 também são linearmente dependentes (se um subconjunto é dependente, o conjunto maior também é).
Isso resolve a primeira parte pedida: os quatro vetores são linearmente dependentes.

Passo 4

Agora quero sugerir uma base de W contida em \{v_1,v_2,v_3,v_4\}. Observação útil e intuitiva: v_1 e v_2 têm z=0 e são claramente independentes (pois v_1 tem componente y zero e v_2 tem componente y igual a 1, não dá para um ser múltiplo do outro). O vetor v_3 está no plano z=0 e já vimos que é combinação de v_1 e v_2. O vetor v_4 tem z=1, portanto não pode estar no span de v_1 e v_2 (que tem sempre z=0). Faz sentido tentar a tríade \{v_1,v_2,v_4\}.
Preciso provar que \{v_1,v_2,v_4\} é (i) linearmente independente e (ii) gera W.
(i) Teste de independência: suponha que existam escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_4 = 0.
Escrevendo por coordenadas:
  • Componente x: \alpha + 2\beta -4\gamma = 0.
  • Componente y: 0 + \beta -5\gamma = 0.
  • Componente z: 0 + 0 + \gamma = 0.
Da última equação vem \gamma=0. Substituindo em \beta -5\gamma=0 obtemos \beta=0. Substituindo \beta=0,\gamma=0 na primeira dá \alpha=0. Assim a única solução é \alpha=\beta=\gamma=0. Portanto \{v_1,v_2,v_4\} é linearmente independente.

Passo 5

(ii) Mostrar que \{v_1,v_2,v_4\} gera W. Lembre: W é o span de v_1,v_2,v_3,v_4. Já vimos que
v_3 = 11\,v_1 - 3\,v_2,
ou seja, v_3 pertence ao span de \{v_1,v_2\}. Logo qualquer combinação linear de v_1,v_2,v_3,v_4 pode ser escrita usando apenas v_1,v_2,v_4. Em símbolos,
\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3,v_4\} = \operatorname{span}\{v_1,v_2,v_4\}.
Portanto \{v_1,v_2,v_4\} gera W.
Como juntamos (i) independência linear de \{v_1,v_2,v_4\} e (ii) geração de W, concluímos que \{v_1,v_2,v_4\} é uma base de W. Observação adicional (útil para intuir): são três vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^3, logo o subespaço gerado por eles tem dimensão 3 — isto é, W=\mathbb{R}^3.

Resposta

v_{1},v_{2},v_{3},v_{4} são linearmente dependentes.
Uma base de W contida em \{v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\} é \{v_{1},v_{2},v_{4}\}.

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