(2,0 pontos) Considere os vetores
do espaço
e
. Mostre que
e
são vetores linearmente dependentes e dê exemplo de uma base de
contida em
, mostrando que seu exemplo satisfaz essas condições.
Passo 1
O enunciado dá quatro vetores de
:
e define
(o subespaço gerado por esses vetores). As tarefas são:
- Mostrar que
são linearmente dependentes. - Dar um exemplo de uma base de
que esteja contida no conjunto e mostrar que esse exemplo realmente é uma base de .
Passo 2
Vou lembrar (explicar) o que significa cada conceito, bem devagar e com jeitinho:
- Linearmente dependentes: os vetores
são linearmente dependentes se existem escalares, nem todos zero, tais que
Se a única solução para essa soma ser zero é
, então os vetores são linearmente independentes.
- Base de um subespaço
: é um conjunto de vetores que (i) é linearmente independente e (ii) gera (ou seja, o span deles é ). Em qualquer conjunto de três vetores linearmente independente forma uma base de .
Essas definições guiam nosso trabalho: para mostrar dependência posso encontrar uma relação linear explícita entre os
; para exhibir uma base contida no conjunto dado, preciso apresentar um subconjunto que seja independente e que gere
.
Passo 3
Procuro uma relação linear entre
. Quero escrever
como combinação linear de
e
, ou seja, encontrar
tais que
Escrevendo coordenada a coordenada:
- Componente
: . - Componente
: , ou seja . - Componente
: (coincide com a de ).
Como
, da primeira equação obtemos
, logo
e assim
.
Portanto
Isto é uma relação linear não trivial entre
(os coeficientes
e
não são ambos zero). Logo
são linearmente dependentes. Como
é um subconjunto de
, segue que
também são linearmente dependentes (se um subconjunto é dependente, o conjunto maior também é).
Isso resolve a primeira parte pedida: os quatro vetores são linearmente dependentes.
Passo 4
Agora quero sugerir uma base de
contida em
. Observação útil e intuitiva:
e
têm
e são claramente independentes (pois
tem componente
zero e
tem componente
igual a
, não dá para um ser múltiplo do outro). O vetor
está no plano
e já vimos que é combinação de
e
. O vetor
tem
, portanto não pode estar no span de
e
(que tem sempre
). Faz sentido tentar a tríade
.
Preciso provar que
é (i) linearmente independente e (ii) gera
.
(i) Teste de independência: suponha que existam escalares
tais que
Escrevendo por coordenadas:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
Da última equação vem
. Substituindo em
obtemos
. Substituindo
na primeira dá
. Assim a única solução é
. Portanto
é linearmente independente.
Passo 5
(ii) Mostrar que
gera
. Lembre:
é o span de
. Já vimos que
ou seja,
pertence ao span de
. Logo qualquer combinação linear de
pode ser escrita usando apenas
. Em símbolos,
Portanto
gera
.
Como juntamos (i) independência linear de
e (ii) geração de
, concluímos que
é uma base de
. Observação adicional (útil para intuir): são três vetores linearmente independentes em
, logo o subespaço gerado por eles tem dimensão
— isto é,
.
Resposta
Uma base de