Considere os seguintes subespaços de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} x & y \\\ z & t \end{array}\right) \right\rvert\, x=t, z=3 y\right\} \quad \text { e } \quad W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & b \\\ b & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}
Determine:
a) (1,0 ponto) Uma base e a dimensão de W_{1}.
b) (1,0 ponto) Uma base e a dimensão de W_{2}
c) (1,0 ponto) W_{1} \cap W_{2}.
d) (1,0 ponto) A dimensão de W_{1}+W_{2}. Esta soma é direta? Justifique.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • W_{1}=\left\{\left.\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & t\end{pmatrix}\right\rvert\, x=t,\\ z=3y\right\}.
    • W_{2}=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}\right\rvert\, a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar uma base e a dimensão de W_{1}.
    (b) Encontrar uma base e a dimensão de W_{2}.
    (c) Determinar W_{1}\cap W_{2}.
    (d) Determinar a dimensão de W_{1}+W_{2}. A soma é direta? Justificar.]

Passo 2

Entender a forma geral de um elemento de W_{1} e expressá-lo com parâmetros livres.
  • Em W_{1} temos as condições x=t e z=3y. Então um elemento arbitrário de W_{1} pode ser escrito como
    \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & t\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] 3y & x\end{pmatrix},
    onde x e y são parâmetros livres em \mathbb{R}.
  • Agora escrevemos isso como combinação linear de matrizes que não dependem dos parâmetros:
    \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] 3y & x\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.
  • Portanto todo vetor em W_{1} é combinação linear das duas matrizes
    E_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 3

Mostrar que E_1 e E_2 formam uma base de W_{1} e concluir a dimensão.
  • Primeiro, elas geram W_{1} pela expressão acima (vimos que qualquer elemento de W_{1} é xE_1+yE_2).
  • Segundo, verificar linearmente independentes: suponha \alpha E_1+\beta E_2=0 (matriz nula). Isso dá
    \alpha\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
    Comparando entradas: na posição (1,1) vem \alpha=0. Na posição (1,2) vem \beta=0. Logo \alpha=\beta=0. São linearmente independentes.
  • Conclusão: \{E_1,E_2\} é uma base de W_{1}. Assim \dim(W_{1})=2.]

Passo 4

Analisar W_{2}: forma geral, base e dimensão.
  • Um elemento genérico de W_{2} tem a forma
    \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix},
    com a,b,c\in\mathbb{R}. Podemos escrever isso como combinação linear:
    \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Denotando
    F_1=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad F_2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\quad F_3=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},
    vemos que F_1,F_2,F_3 geram W_{2}.
  • Verificação de independência: se \alpha F_1+\beta F_2+\gamma F_3=0, comparando entradas obtemos \alpha=0,\beta=0,\gamma=0. Assim são linearmente independentes.
  • Conclusão: \{F_1,F_2,F_3\} é uma base de W_{2} e \dim(W_{2})=3.]

Passo 5

Determinar W_{1}\cap W_{2}: equacionar as duas formas e resolver.
  • Um elemento em W_{1} tem a forma \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] 3y & x\end{pmatrix}.
  • Um elemento em W_{2} tem a forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
  • Para estar na interseção, as duas formas devem coincidir: isto é, existem x,y tais que
    \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] 3y & x\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
    Comparando as posições fora da diagonal temos y=b e 3y=b. Assim
    y=b\quad\text{e}\quad 3y=b \\ \Longrightarrow\\\ 3y=y \\ \Longrightarrow\\\ 2y=0 \\ \Longrightarrow\\ y=0.
  • Com y=0 a matriz em W_{1} torna-se \begin{pmatrix}x & 0\\[4pt] 0 & x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
  • Portanto
    W_{1}\cap W_{2}=\left\{x\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\,:\, x\in\mathbb{R}\right\} =\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
  • Conclusão: uma base de W_{1}\cap W_{2} é \left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\} e \dim(W_{1}\cap W_{2})=1.]

Passo 6

Calcular \dim(W_{1}+W_{2}) e verificar se a soma é direta.
  • Usamos a fórmula da dimensão para soma de subespaços (uma fórmula padrão e fácil de justificar geometricamente):
    \dim(U+V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U\cap V).
    Intuição rápida: contagem das dimensões somadas, removendo a sobreposição contada duas vezes.
  • Aplicando aos nossos espaços:
    \dim(W_{1}+W_{2})=\dim(W_{1})+\dim(W_{2})-\dim(W_{1}\cap W_{2}) =2+3-1=4.
  • Observação útil: \dim(M_{2\times2}(\mathbb{R}))=4. Como W_{1}+W_{2} é um subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) com dimensão 4, segue que W_{1}+W_{2}=M_{2\times2}(\mathbb{R}) (ou seja, a soma preenche todo o espaço).
  • A soma é direta se e só se W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Como aqui W_{1}\cap W_{2} contém \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} não-nula, a interseção não é trivial. Portanto a soma NÃO é direta.
  • Uma justificativa concreta (exemplo de não-unicidade de decomposição): a identidade I pertence a W_{1}\cap W_{2}. Se M\in W_{1}+W_{2} e escrevemos M=u+v com u\in W_{1},v\in W_{2}, então também M=(u+I)+(v-I) é outra decomposição com (u+I)\in W_{1} e (v-I)\in W_{2}. Logo a decomposição não é única, compatível com soma não direta.]

Resposta

(a) Base de W_{1}: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}\right\}. \dim(W_{1})=2.
(b) Base de W_{2}: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}. \dim(W_{2})=3.
(c) W_{1}\cap W_{2}=\displaystyle \left\{x\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}:x\in\mathbb{R}\right\}=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}\right\}.
(d) \dim(W_{1}+W_{2})=4. A soma não é direta, pois W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\} (por exemplo I=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\in W_{1}\cap W_{2}).]

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