Considere os seguintes subespaços de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} x & y \\\ z & t \end{array}\right) \right\rvert\, x=t, z=3 y\right\} \quad \text { e } \quad W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & b \\\ b & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}
Determine:
a) (1,0 ponto) Uma base e a dimensão de W_{1}.
b) (1,0 ponto) Uma base e a dimensão de W_{2}
c) (1,0 ponto) W_{1} \cap W_{2}.
d) (1,0 ponto) A dimensão de W_{1}+W_{2}. Esta soma é direta? Justifique.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
W_{1}=\left\{\left.\begin{pmatrix}x & y\\[4pt] z & t\end{pmatrix}\right\rvert\, x=t,\\ z=3y\right\}.
W_{2}=\left\{\left.\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}\right\rvert\, a,b,c\in\mathbb{R}\right\}.
Perguntas:
(a) Encontrar uma base e a dimensão de W_{1}.
(b) Encontrar uma base e a dimensão de W_{2}.
(c) Determinar W_{1}\cap W_{2}.
(d) Determinar a dimensão de W_{1}+W_{2}. A soma é direta? Justificar.]
Passo 2
Entender a forma geral de um elemento de W_{1} e expressá-lo com parâmetros livres.
Em W_{1} temos as condições x=t e z=3y. Então um elemento arbitrário de W_{1} pode ser escrito como
Verificação de independência: se \alpha F_1+\beta F_2+\gamma F_3=0, comparando entradas obtemos \alpha=0,\beta=0,\gamma=0. Assim são linearmente independentes.
Conclusão: \{F_1,F_2,F_3\} é uma base de W_{2} e \dim(W_{2})=3.]
Passo 5
Determinar W_{1}\cap W_{2}: equacionar as duas formas e resolver.
Um elemento em W_{1} tem a forma \begin{pmatrix}x & y\\[4pt] 3y & x\end{pmatrix}.
Um elemento em W_{2} tem a forma \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] b & c\end{pmatrix}.
Para estar na interseção, as duas formas devem coincidir: isto é, existem x,y tais que
Observação útil: \dim(M_{2\times2}(\mathbb{R}))=4. Como W_{1}+W_{2} é um subespaço de M_{2\times2}(\mathbb{R}) com dimensão 4, segue que W_{1}+W_{2}=M_{2\times2}(\mathbb{R}) (ou seja, a soma preenche todo o espaço).
A soma é direta se e só se W_{1}\cap W_{2}=\{0\}. Como aqui W_{1}\cap W_{2} contém \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} não-nula, a interseção não é trivial. Portanto a soma NÃO é direta.
Uma justificativa concreta (exemplo de não-unicidade de decomposição): a identidade I pertence a W_{1}\cap W_{2}. Se M\in W_{1}+W_{2} e escrevemos M=u+v com u\in W_{1},v\in W_{2}, então também M=(u+I)+(v-I) é outra decomposição com (u+I)\in W_{1} e (v-I)\in W_{2}. Logo a decomposição não é única, compatível com soma não direta.]
Resposta
(a) Base de W_{1}: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}\right\}. \dim(W_{1})=2.
(d) \dim(W_{1}+W_{2})=4. A soma não é direta, pois W_{1}\cap W_{2}\neq\{0\} (por exemplo I=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\in W_{1}\cap W_{2}).]