7.16 • BIO Tendões. Os tendões são fibras elásticas fortes, que conectam músculos aos ossos. Até certo ponto, eles obedecem à lei de Hooke. Em testes de laboratório sobre um tendão em particular, descobriu-se que, quando um objeto de 250 g era
pendurado a ele, o tendão esticava 1,23 \mathrm{~cm}. (a) Ache a constante de força desse tendão em N/m. (b) Em virtude de sua espessura, a tensão máxima que esse tendão pode suportar sem que se rompa é 138 N . Até que ponto o tendão pode se esticar sem romper e quanta energia está armazenada nele nesse ponto?

Passo 1

O enunciado dá um tendão que, ao pendurar um objeto de 250\\ \mathrm{g}, estica 1,23\\ \mathrm{cm}. Pede duas coisas:
  • (a) A constante de força k do tendão em \mathrm{N/m}.
  • (b) Sabendo que a máxima força (tensão) que o tendão suporta antes de romper é 138\\ \mathrm{N}, até que extensão isso corresponde e quanta energia elástica está armazenada nesse ponto.
Informações fornecidas (extraio diretamente do enunciado):
\text{massa}\\ m = 250\\ \mathrm{g},
\text{alongamento observado } x_0 = 1,23\\ \mathrm{cm},
\text{força máxima } F_{\max} = 138\\ \mathrm{N}.çá

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Lei de Hooke: um corpo elástico, para pequenas deformações, obedece
F = kx,
onde F é a força aplicada (em \mathrm{N}), x é o alongamento (em \mathrm{m}) e k é a constante de força (em \mathrm{N/m}). Aqui, ao pendurar a massa, a força que estica o tendão é o peso da massa, mg.
  • Energia armazenada em uma mola/tendão obedecendo à Lei de Hooke:
U = \tfrac{1}{2} k x^2,
onde U é a energia potencial elástica (em \mathrm{J}).
Vou explicar cada símbolo:
  • m: massa do objeto que puxa o tendão.
  • g: aceleração da gravidade; usaremos g = 9,8\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).
  • F: força correspondente ao peso, F=mg.
  • x: alongamento produzido por F.
  • k: constante que queremos achar.
  • U: energia elástica armazenada quando o tendão está alongado de x.

Passo 3

Converter unidades para o Sistema Internacional (SI):
  • Massa: 250\\ \mathrm{g} = 0,250\\ \mathrm{kg}.
  • Alongamento observado: 1,23\\ \mathrm{cm} = 0,0123\\ \mathrm{m}.
    Sempre trabalhar em \mathrm{kg},\\ \mathrm{m},\\ \mathrm{s} para que F=mg dê Newtons.

Passo 4

Calcular a força F causada pela massa pendurada (o peso):
F = mg = 0,250\\ \mathrm{kg}\times 9,8\\ \mathrm{m/s^2}.
Fazendo a multiplicação passo a passo:
0,250\times 9,8 = 0,25\times 9,8 = 2,45.
Portanto
F = 2,45\\ \mathrm{N}.

Passo 5

Usar a Lei de Hooke para achar k. Da equação F = kx isolamos k:
k = \frac{F}{x}.
Substituindo F=2,45\\ \mathrm{N} e x=0,0123\\ \mathrm{m}:
k = \frac{2,45}{0,0123}\\ \mathrm{N/m}.
Agora a divisão (mostro como fazer aproximando manualmente):
  • Dividir por 0,0123 é o mesmo que multiplicar por \dfrac{1}{0,0123}.
  • Uma forma rápida: 0,0123 \approx 1,23\times 10^{-2}, então
k \approx \frac{2,45}{1,23\times 10^{-2}} = \frac{2,45}{1,23}\times 10^{2}.
Calcule \dfrac{2,45}{1,23}: isso dá aproximadamente 1,99 (porque 1,23\times 2 = 2,46, muito perto de 2,45).
Logo
k \approx 1,99\times 10^{2}\\ \mathrm{N/m} = 199\\ \mathrm{N/m}\\ (\text{arredondando}).

Passo 6

Agora para a parte (b): a máxima força que o tendão suporta é F_{\max}=138\\ \mathrm{N}. Usamos novamente F=kx para achar a extensão máxima x_{\max}:
x_{\max} = \frac{F_{\max}}{k}.
Substituindo k \approx 199\\ \mathrm{N/m}:
x_{\max} \approx \frac{138}{199}\\ \mathrm{m}.
Fazendo a divisão (mostro um jeito mental):
  • 199 é quase 200, e 138/200 = 0,69.
  • Fazendo com mais precisão, \dfrac{138}{199}\approx 0,693.
    Portanto
x_{\max} \approx 0,693\\ \mathrm{m}.
Observação prática: é um alongamento grande (cerca de 69,3 cm) — o cálculo segue da Lei de Hooke e dos dados fornecidos.

Passo 7

Calcular a energia elástica armazenada quando o tendão está esticado até x_{\max}. Usamos
U = \tfrac{1}{2} k x_{\max}^2.
Substituindo k\approx199\\ \mathrm{N/m} e x_{\max}\approx0,693\\ \mathrm{m}:
Primeiro calcule x_{\max}^2:
x_{\max}^2 \approx (0,693)^2 \approx 0,4807.
Agora multiplica por k:
k x_{\max}^2 \approx 199 \times 0,4807 \approx 95,7.
Finalmente, metade disso:
U \approx \tfrac{1}{2}\times 95,7 \approx 47,85\\ \mathrm{J}.
Arredondando com 3 dígitos significativos:
U \approx 47,9\\ \mathrm{J}.

Passo 8

Recapitulando e interpretando: com os dados do enunciado calculamos a constante elástica k, depois usamos a força de ruptura para achar o alongamento correspondente e a energia armazenada. Tudo foi feito convertendo unidades para SI e aplicando a Lei de Hooke e a fórmula da energia elástica. Forneci aproximações razoáveis para que você consiga reproduzir esses cálculos à mão na prova (usar a aproximação 199\approx200 facilita estimativas rápidas).

Resposta

(a) k \approx 199\\ \mathrm{N/m}
(b) x_{\max} \approx 0,693\\ \mathrm{m};\\ U \approx 47,9\\ \mathrm{J}

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