Q5.9 Um engradado desliza para cima por uma superfície inclinada e depois desliza para baixo pela rampa, depois de parar momentaneamente perto do topo. Existe um atrito cinético entre a superfície da rampa e o engradado. Qual é maior? (i) A aceleração do engradado subindo a rampa; (ii) a aceleração do engradado descendo a rampa; (iii) ambas são iguais. Explique.
Q5.10 Uma caixa com livros está em repouso sobre um piso plano. Você deseja movê-la ao longo do piso com velocidade constante. Por que a força que você exerce puxando a caixa com um ângulo \theta acima da horizontal é menor que a força que exerce empurrando a caixa com o mesmo ângulo abaixo da horizontal?

Passo 1

Enunciado e dados importantes.\n
Q5.9: Um engradado desliza para cima por uma superfície inclinada e depois volta a deslizar para baixo pela rampa, depois de parar momentaneamente perto do topo. Existe atrito cinético entre o engradado e a rampa. Pergunta: qual é maior em módulo? (i) a aceleração do engradado subindo a rampa; (ii) a aceleração do engradado descendo a rampa; (iii) ambas são iguais.\n
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):\n
  • Há uma rampa inclinada; denote o ângulo da rampa por \alpha.\n
  • Existe atrito cinético com coeficiente \mu_k (não é necessário saber o valor numérico).\n
  • O engradado se move para cima (subindo) em certo trecho e depois se move para baixo (descendo).\n
  • Em ambos os movimentos o atrito cinético age e sempre se opõe ao sentido do movimento.\n
  • Pede-se comparar as magnitudes das acelerações nos dois casos.\n
    Q5.10: Uma caixa com livros está em repouso sobre um piso plano. Você quer movê-la com velocidade constante puxando-a com uma força F aplicada a um ângulo \theta acima da horizontal ou empurrando com o mesmo ângulo \theta abaixo da horizontal. Pergunta: por que a força que você exerce puxando com ângulo \theta é menor que a força que exerce empurrando com o mesmo ângulo abaixo da horizontal?\n
    Informações dadas (explicitamente ou implícitas):\n
  • Piso plano horizontal, caixa deslizando com velocidade constante (ou seja, aceleração zero na direção do movimento).\n
  • Existe atrito (assuma atrito cinético com coeficiente \mu).\n
  • Ângulo da força em relação à horizontal é \theta.\n
  • Queremos comparar a intensidade F necessária nas duas maneiras (puxar para cima vs empurrar para baixo) para manter velocidade constante.\n

Passo 2

Conceitos-chave que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).\n
  1. Força peso: a massa m sofre a força gravitacional vertical para baixo de intensidade mg, onde g é a aceleração da gravidade.\n
  2. Componentes do peso em plano inclinado: se a rampa tem ângulo \alpha com a horizontal, a componente do peso paralela à rampa é \;mg\sin\alpha\; (sempre apontando para baixo ao longo da rampa) e a componente perpendicular à rampa é \;mg\cos\alpha\;.\n
  3. Força normal N: é a força de reação perpendicular à superfície que cancela parte do peso na direção perpendicular. Para uma superfície lisa inclinada sem outras forças na vertical, N=mg\cos\alpha. Se houver outras forças verticais, N muda (veremos isso no problema da caixa).\n
  4. Atrito cinético: a força de atrito cinético tem módulo\newline
f_k = \mu_k N
onde \mu_k é o coeficiente de atrito cinético e N é a força normal. Direção: sempre oposta ao sentido instantâneo do movimento.\n
5) Segunda Lei de Newton (forma escalar ao longo de uma direção): a soma das forças ao longo da direção escolhida é igual a m a, onde a é a aceleração nessa direção. Em problemas de rampa, é comum projetar as forças ao longo do eixo paralelo à rampa.\n
Agora que sabemos essas peças, vamos aplicá-las nos problemas.

Passo 3

Resolvendo Q5.9 — análise das forças quando o engradado está subindo a rampa.\n
Defina a direção positiva como para cima ao longo da rampa (isso é só para ter sinal consistente). As forças paralelas à rampa são:\n
  • Componente do peso apontando para baixo: -mg\sin\alpha.\n
  • Força de atrito cinético durante o movimento para cima: também aponta para baixo (opõe-se ao movimento), portanto contribui como -f_k.\n
    A normal é N=mg\cos\alpha (não há outras forças perpendiculares no enunciado do Q5.9), então\newline
f_k = \mu_k N = \mu_k mg\cos\alpha.\n
Aplicando a Segunda Lei ao longo da rampa (positivo para cima):\n
m a_{\text{subindo}} = -mg\sin\alpha - \mu_k m g\cos\alpha.\n
Dividindo por m:\n
a_{\text{subindo}} = -g\sin\alpha - \mu_k g\cos\alpha.\n
Interpretação: o sinal negativo indica que a aceleração está apontando para baixo (o bloco está desacelerando enquanto sobe). O módulo (valor absoluto) da aceleração é\n
|a_{\text{subindo}}| = g\sin\alpha + \mu_k g\cos\alpha.

Passo 4

Resolvendo Q5.9 — análise das forças quando o engradado está descendo a rampa.\n
Agora escolha a direção positiva como para baixo ao longo da rampa (ou podemos manter a mesma convenção; faremos positivo para baixo para facilitar). As forças paralelas à rampa são:\n
  • Componente do peso apontando para baixo: +mg\sin\alpha.\n
  • Força de atrito cinético quando o bloco desce: agora o atrito aponta para cima (opõe-se ao movimento), então é -f_k = -\mu_k mg\cos\alpha.\n
    Aplicando a Segunda Lei (positivo para baixo):\n
m a_{\text{descendo}} = mg\sin\alpha - \mu_k m g\cos\alpha.\n
Dividindo por m:\n
a_{\text{descendo}} = g\sin\alpha - \mu_k g\cos\alpha.\n
Interpretação: este a_{\text{descendo}} é positivo (sentido para baixo) enquanto o bloco estiver deslizando para baixo. O módulo da aceleração é\n
|a_{\text{descendo}}| = g\sin\alpha - \mu_k g\cos\alpha.

Passo 5

Comparação das magnitudes para Q5.9 com explicação física.\n
Subtraindo as expressões (módulos):\n
|a_{\text{subindo}}| - |a_{\text{descendo}}| = \big(g\sin\alpha + \mu_k g\cos\alpha\big) - \big(g\sin\alpha - \mu_k g\cos\alpha\big) = 2\mu_k g\cos\alpha.\n
Como \mu_k>0 e \cos\alpha>0 para 0<\alpha<90^\circ, o resultado é positivo. Portanto\n
|a_{\text{subindo}}| > |a_{\text{descendo}}|.\n
Explicação em palavras (intuitiva): quando o engradado sobe, tanto o peso (componente mg\sin\alpha) quanto o atrito atuam na mesma direção (para baixo), então a desaceleração é maior. Quando ele desce, o peso puxa para baixo, mas o atrito aponta para cima, reduzindo a força resultante para baixo; assim a aceleração para baixo é menor em módulo. Em suma: atrito sempre se opõe ao movimento, e por isso ajuda a “parar” no trecho subindo, mas “freia” na descida.

Passo 6

Observações sobre casos limites (breve e útil para prova).\n
  • Se \mu_k fosse zero (superfície sem atrito), ambos os módulos seriam iguais: |a|=g\sin\alpha tanto subindo quanto descendo. \n
  • Se \mu_k for grande suficiente que g\sin\alpha < \mu_k g\cos\alpha, então a_{\text{descendo}} seria negativo segundo a expressão (o que significaria que, se estivesse deslizando, a soma das forças apontaria para cima) — na prática isso significa que o bloco nem desceria sozinho: o atrito poderia impedir a descida espontânea. Mas no enunciado sabemos que ele desliza em ambos sentidos (há movimento), então estamos no regime usual onde as expressões acima valem.

Passo 7

Resolvendo Q5.10 — montar as equações para o caso de puxar com ângulo \theta acima da horizontal (velocidade constante).\n
Condições: velocidade constante → aceleração zero em todas as direções.\n
Forças relevantes: \n- Peso: mg para baixo.\n- Força aplicada F com componentes: horizontal F\cos\theta (no sentido do movimento) e vertical F\sin\theta (para cima, pois puxamos para cima).\n- Normal N para cima da superfície.\n- Atrito cinético: f_k = \mu N, apontando para trás e igual à componente horizontal que precisamos vencer.\n\nEquilíbrios:\n- Na direção vertical (somatório das forças = 0):\n N + F\sin\theta - mg = 0 \quad\Rightarrow\quad N = mg - F\sin\theta.\n
  • Na direção horizontal (para frente soma das forças = 0): a componente horizontal F\cos\theta deve equilibrar o atrito:\n F\cos\theta = f_k = \mu N = \mu (mg - F\sin\theta).\n
Agora resolvemos para F. Passos algébricos:\n
F\cos\theta = \mu mg - \mu F\sin\theta\n
F\cos\theta + \mu F\sin\theta = \mu mg\n
F(\cos\theta + \mu \sin\theta) = \mu mg\n
\boxed{F_{\text{puxar}} = \dfrac{\mu mg}{\cos\theta + \mu \sin\theta}.}

Passo 8

Resolvendo Q5.10 — montar as equações para o caso de empurrar com o mesmo ângulo \theta abaixo da horizontal.\n
Agora a componente vertical da força aplicada aponta para baixo: sua contribuição é F\sin\theta para baixo. Refaça os equilíbrios:\n
  • Vertical: N - F\sin\theta - mg = 0 →\n N = mg + F\sin\theta.\n
  • Atrito: f_k = \mu N = \mu (mg + F\sin\theta).\n
  • Horizontal: a componente F\cos\theta (para frente) equilibra o atrito:\n F\cos\theta = \mu (mg + F\sin\theta).\n
Resolver para F:\n
F\cos\theta = \mu mg + \mu F\sin\theta\n
F\cos\theta - \mu F\sin\theta = \mu mg\n
F(\cos\theta - \mu \sin\theta) = \mu mg\n
\boxed{F_{\text{empurrar}} = \dfrac{\mu mg}{\cos\theta - \mu \sin\theta}.}

Passo 9

Comparação entre puxar e empurrar (Q5.10) com explicação física.\n
Compare as duas expressões que encontramos:\n
F_{\text{puxar}} = \dfrac{\mu mg}{\cos\theta + \mu \sin\theta},\qquad F_{\text{empurrar}} = \dfrac{\mu mg}{\cos\theta - \mu \sin\theta}.\n
Observação sobre os denominadores: \cos\theta + \mu \sin\theta é maior do que \cos\theta - \mu \sin\theta (porque \mu\sin\theta>0 para 0<\theta<90^\circ). Como o numerador \mu mg é o mesmo, um denominador maior resulta em um F menor. Portanto\n
F_{\text{puxar}} < F_{\text{empurrar}}.\n
Intuição física simples e direta: ao puxar para cima você reduz a força normal N (porque parte da sua força irá para cima), e como o atrito é proporcional a N, o atrito diminui — assim exige-se menos força horizontal para vencer o atrito. Ao empurrar para baixo, você aumenta N e, portanto, aumenta o atrito; é preciso aplicar uma força horizontal maior para manter o movimento com velocidade constante.\n
Observação adicional prática: se \cos\theta - \mu\sin\theta \le 0 no caso de empurrar, a fórmula indica que seria necessário F\to\infty (impraticável) — esse é um sinal de que empurrar com ângulos muito grandes e coeficiente de atrito grande pode tornar impossível manter movimento constante sem outras considerações. Na prática, isso só reforça que, para muitos \theta, empurrar é pior que puxar.

Resposta

Q5.9: (i) A aceleração do engradado subindo a rampa é maior em módulo que a aceleração ao descer.\n
Q5.10: A força ao puxar com ângulo \theta é menor do que ao empurrar com o mesmo ângulo (porque ao puxar diminui-se a normal N e, assim, o atrito; ao empurrar aumenta-se N e o atrito).

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