Q5.9 Um engradado desliza para cima por uma superfície inclinada e depois desliza para baixo pela rampa, depois de parar momentaneamente perto do topo. Existe um atrito cinético entre a superfície da rampa e o engradado. Qual é maior? (i) A aceleração do engradado subindo a rampa; (ii) a aceleração do engradado descendo a rampa; (iii) ambas são iguais. Explique.
Q5.10 Uma caixa com livros está em repouso sobre um piso plano. Você deseja movê-la ao longo do piso com velocidade constante. Por que a força que você exerce puxando a caixa com um ângulo
acima da horizontal é menor que a força que exerce empurrando a caixa com o mesmo ângulo abaixo da horizontal?
Q5.10 Uma caixa com livros está em repouso sobre um piso plano. Você deseja movê-la ao longo do piso com velocidade constante. Por que a força que você exerce puxando a caixa com um ângulo
Passo 1
Enunciado e dados importantes.\n
Q5.9: Um engradado desliza para cima por uma superfície inclinada e depois volta a deslizar para baixo pela rampa, depois de parar momentaneamente perto do topo. Existe atrito cinético entre o engradado e a rampa. Pergunta: qual é maior em módulo? (i) a aceleração do engradado subindo a rampa; (ii) a aceleração do engradado descendo a rampa; (iii) ambas são iguais.\n
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):\n
Q5.9: Um engradado desliza para cima por uma superfície inclinada e depois volta a deslizar para baixo pela rampa, depois de parar momentaneamente perto do topo. Existe atrito cinético entre o engradado e a rampa. Pergunta: qual é maior em módulo? (i) a aceleração do engradado subindo a rampa; (ii) a aceleração do engradado descendo a rampa; (iii) ambas são iguais.\n
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):\n
- Há uma rampa inclinada; denote o ângulo da rampa por
.\n - Existe atrito cinético com coeficiente
(não é necessário saber o valor numérico).\n - O engradado se move para cima (subindo) em certo trecho e depois se move para baixo (descendo).\n
- Em ambos os movimentos o atrito cinético age e sempre se opõe ao sentido do movimento.\n
- Pede-se comparar as magnitudes das acelerações nos dois casos.\n
Q5.10: Uma caixa com livros está em repouso sobre um piso plano. Você quer movê-la com velocidade constante puxando-a com uma forçaaplicada a um ângulo acima da horizontal ou empurrando com o mesmo ângulo abaixo da horizontal. Pergunta: por que a força que você exerce puxando com ângulo é menor que a força que exerce empurrando com o mesmo ângulo abaixo da horizontal?\n
Informações dadas (explicitamente ou implícitas):\n - Piso plano horizontal, caixa deslizando com velocidade constante (ou seja, aceleração zero na direção do movimento).\n
- Existe atrito (assuma atrito cinético com coeficiente
).\n - Ângulo da força em relação à horizontal é
.\n - Queremos comparar a intensidade
necessária nas duas maneiras (puxar para cima vs empurrar para baixo) para manter velocidade constante.\n
Passo 2
Conceitos-chave que vamos usar (explicação didática e sem pular etapas).\n
- Força peso: a massa
sofre a força gravitacional vertical para baixo de intensidade , onde é a aceleração da gravidade.\n - Componentes do peso em plano inclinado: se a rampa tem ângulo
com a horizontal, a componente do peso paralela à rampa é (sempre apontando para baixo ao longo da rampa) e a componente perpendicular à rampa é .\n - Força normal
: é a força de reação perpendicular à superfície que cancela parte do peso na direção perpendicular. Para uma superfície lisa inclinada sem outras forças na vertical, . Se houver outras forças verticais, muda (veremos isso no problema da caixa).\n - Atrito cinético: a força de atrito cinético tem módulo\newline
onde
é o coeficiente de atrito cinético e
é a força normal. Direção: sempre oposta ao sentido instantâneo do movimento.\n
5) Segunda Lei de Newton (forma escalar ao longo de uma direção): a soma das forças ao longo da direção escolhida é igual a , onde
é a aceleração nessa direção. Em problemas de rampa, é comum projetar as forças ao longo do eixo paralelo à rampa.\n
Agora que sabemos essas peças, vamos aplicá-las nos problemas.
5) Segunda Lei de Newton (forma escalar ao longo de uma direção): a soma das forças ao longo da direção escolhida é igual a
Agora que sabemos essas peças, vamos aplicá-las nos problemas.
Passo 3
Resolvendo Q5.9 — análise das forças quando o engradado está subindo a rampa.\n
Defina a direção positiva como para cima ao longo da rampa (isso é só para ter sinal consistente). As forças paralelas à rampa são:\n
Defina a direção positiva como para cima ao longo da rampa (isso é só para ter sinal consistente). As forças paralelas à rampa são:\n
- Componente do peso apontando para baixo:
.\n - Força de atrito cinético durante o movimento para cima: também aponta para baixo (opõe-se ao movimento), portanto contribui como
.\n
A normal é(não há outras forças perpendiculares no enunciado do Q5.9), então\newline
Aplicando a Segunda Lei ao longo da rampa (positivo para cima):\n
Dividindo por
:\n
Interpretação: o sinal negativo indica que a aceleração está apontando para baixo (o bloco está desacelerando enquanto sobe). O módulo (valor absoluto) da aceleração é\n
Passo 4
Resolvendo Q5.9 — análise das forças quando o engradado está descendo a rampa.\n
Agora escolha a direção positiva como para baixo ao longo da rampa (ou podemos manter a mesma convenção; faremos positivo para baixo para facilitar). As forças paralelas à rampa são:\n
Agora escolha a direção positiva como para baixo ao longo da rampa (ou podemos manter a mesma convenção; faremos positivo para baixo para facilitar). As forças paralelas à rampa são:\n
- Componente do peso apontando para baixo:
.\n - Força de atrito cinético quando o bloco desce: agora o atrito aponta para cima (opõe-se ao movimento), então é
.\n
Aplicando a Segunda Lei (positivo para baixo):\n
Dividindo por
:\n
Interpretação: este
é positivo (sentido para baixo) enquanto o bloco estiver deslizando para baixo. O módulo da aceleração é\n
Passo 5
Comparação das magnitudes para Q5.9 com explicação física.\n
Subtraindo as expressões (módulos):\n
Subtraindo as expressões (módulos):\n
Como
e
para
, o resultado é positivo. Portanto\n
Explicação em palavras (intuitiva): quando o engradado sobe, tanto o peso (componente
) quanto o atrito atuam na mesma direção (para baixo), então a desaceleração é maior. Quando ele desce, o peso puxa para baixo, mas o atrito aponta para cima, reduzindo a força resultante para baixo; assim a aceleração para baixo é menor em módulo. Em suma: atrito sempre se opõe ao movimento, e por isso ajuda a “parar” no trecho subindo, mas “freia” na descida.
Passo 6
Observações sobre casos limites (breve e útil para prova).\n
- Se
fosse zero (superfície sem atrito), ambos os módulos seriam iguais: tanto subindo quanto descendo. \n - Se
for grande suficiente que , então seria negativo segundo a expressão (o que significaria que, se estivesse deslizando, a soma das forças apontaria para cima) — na prática isso significa que o bloco nem desceria sozinho: o atrito poderia impedir a descida espontânea. Mas no enunciado sabemos que ele desliza em ambos sentidos (há movimento), então estamos no regime usual onde as expressões acima valem.
Passo 7
Resolvendo Q5.10 — montar as equações para o caso de puxar com ângulo
acima da horizontal (velocidade constante).\n
Condições: velocidade constante → aceleração zero em todas as direções.\n
Condições: velocidade constante → aceleração zero em todas as direções.\n
Forças relevantes: \n- Peso:
para baixo.\n- Força aplicada
com componentes: horizontal
(no sentido do movimento) e vertical
(para cima, pois puxamos para cima).\n- Normal
para cima da superfície.\n- Atrito cinético:
, apontando para trás e igual à componente horizontal que precisamos vencer.\n\nEquilíbrios:\n- Na direção vertical (somatório das forças = 0):\n
\n
- Na direção horizontal (para frente soma das forças = 0): a componente horizontal
deve equilibrar o atrito:\n \n
Agora resolvemos para
. Passos algébricos:\n
Passo 8
Resolvendo Q5.10 — montar as equações para o caso de empurrar com o mesmo ângulo
abaixo da horizontal.\n
Agora a componente vertical da força aplicada aponta para baixo: sua contribuição é para baixo. Refaça os equilíbrios:\n
Agora a componente vertical da força aplicada aponta para baixo: sua contribuição é
- Vertical:
→\n \n - Atrito:
.\n - Horizontal: a componente
(para frente) equilibra o atrito:\n \n
Resolver para
:\n
Passo 9
Comparação entre puxar e empurrar (Q5.10) com explicação física.\n
Compare as duas expressões que encontramos:\n
Compare as duas expressões que encontramos:\n
Observação sobre os denominadores:
é maior do que
(porque
para
). Como o numerador
é o mesmo, um denominador maior resulta em um
menor. Portanto\n
Intuição física simples e direta: ao puxar para cima você reduz a força normal
(porque parte da sua força irá para cima), e como o atrito é proporcional a
, o atrito diminui — assim exige-se menos força horizontal para vencer o atrito. Ao empurrar para baixo, você aumenta
e, portanto, aumenta o atrito; é preciso aplicar uma força horizontal maior para manter o movimento com velocidade constante.\n
Observação adicional prática: se no caso de empurrar, a fórmula indica que seria necessário
(impraticável) — esse é um sinal de que empurrar com ângulos muito grandes e coeficiente de atrito grande pode tornar impossível manter movimento constante sem outras considerações. Na prática, isso só reforça que, para muitos
, empurrar é pior que puxar.
Observação adicional prática: se
Resposta
Q5.9: (i) A aceleração do engradado subindo a rampa é maior em módulo que a aceleração ao descer.\n
Q5.10: A força ao puxar com ângulo é menor do que ao empurrar com o mesmo ângulo (porque ao puxar diminui-se a normal
e, assim, o atrito; ao empurrar aumenta-se
e o atrito).
Q5.10: A força ao puxar com ângulo