40.3 • Considere a função de onda livre de partícula do Exemplo 40.1. Seja k_{2}=3 k_{1}=3 k. Em t=0, a função de distribuição de probabilidade |\Psi(x, t)|^{2} tem um máximo a x=0. (a) Qual é o menor valor positivo de x para o qual a função de distribuição de probabilidade tem um máximo no tempo t=2 \pi / \omega, onde \omega=\hbar k^{2} / 2 m ? (b) A partir do seu resultado no item (a), qual é a velocidade média com a qual a distribuição de probabilidade está se movendo na direção +x ? Compare seu resultado com a expressão v_{\text {méd }}=\left(\omega_{2}-\omega_{1}\right) /\left(k_{2}-k_{1}\right)é do Exemplo 40.1.

Passo 1

Enunciado e dados relevantes (resumindo o que foi dado e o que é pedido):
  • Temos uma superposição de duas ondas planas (partícula livre) com números de onda relacionados por k_{2}=3k_{1}=3k. Logo \,k_{1}=k e \,k_{2}=3k.
  • A constante \omega do enunciado é \displaystyle \omega=\frac{\hbar k^{2}}{2m}.
  • Em t=0 a densidade de probabilidade |\Psi(x,t)|^{2} tem um máximo em x=0.
  • Pergunta (a): qual é o menor valor positivo de x para o qual |\Psi(x,t)|^{2} tem um máximo no tempo t=\dfrac{2\pi}{\omega} ?
  • Pergunta (b): a partir do resultado do item (a), qual é a velocidade média com que a distribuição de probabilidade se move na direção +x? Compare esse resultado com a expressão dada \displaystyle v_{\text{méd}}=\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{k_{2}-k_{1}}é.

Passo 2

Escrever a condição geral para máximos de interferência (passo pedagógico — explicando a teoria necessária):
  • Para a superposição de duas ondas planas iguais em amplitude,
\Psi(x,t)=A\Bigl(e^{i(k_{1}x-\omega_{1}t)}+e^{i(k_{2}x-\omega_{2}t)}\Bigr),
a densidade de probabilidade (produto da função pela sua conjugada) dá, após contas padrão,
|\Psi(x,t)|^{2}=2|A|^{2}\Bigl(1+\cos\!\bigl((k_{2}-k_{1})x-(\omega_{2}-\omega_{1})t\bigr)\Bigr).
  • Interpretação: a estrutura de máximos e mínimos em x provém do termo \cos(\Delta k\, x - \Delta\omega\, t), onde definimos
\Delta k \equiv k_{2}-k_{1},\qquad \Delta\omega \equiv \omega_{2}-\omega_{1}.
  • Máximos ocorrem quando o cosseno vale +1, ou seja quando o argumento é múltiplo inteiro de 2\pi:
\Delta k\, x - \Delta\omega\, t = 2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.
  • Assim as posições dos máximos em função do tempo são
x_{n}(t)=\frac{2\pi n + \Delta\omega\, t}{\Delta k}.
Expliquei: \,n indexa os máximos; para t=0 obtemos x_{n}(0)=\dfrac{2\pi n}{\Delta k}.

Passo 3

Aplicar os dados numéricos dados pelo enunciado e achar as posições dos máximos no tempo pedido:
  • Com k_{1}=k e k_{2}=3k temos
\Delta k = k_{2}-k_{1} = 2k.
  • As frequências de cada onda (energia cinética \hbar^{2}k^{2}/2m) são
\omega_{1}=\frac{\hbar k^{2}}{2m}=\omega,\qquad \omega_{2}=\frac{\hbar (3k)^{2}}{2m}=\frac{9\hbar k^{2}}{2m}=9\omega,
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\Delta\omega=\omega_{2}-\omega_{1}=8\omega.
  • Usando a fórmula dos máximos:
x_{n}(t)=\frac{2\pi n + \Delta\omega\, t}{\Delta k} =\frac{2\pi n + 8\omega\, t}{2k}.
  • Agora evaluate em t=\dfrac{2\pi}{\omega}:
x_{n}\!\left(\frac{2\pi}{\omega}\right) =\frac{2\pi n + 8\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}}{2k} =\frac{2\pi n + 16\pi}{2k} =\frac{\pi(n+8)}{k}.
  • Para encontrar o menor valor positivo de x tomamos o menor inteiro n tal que x_{n}>0. A condição n+8>0 n>-8; o menor inteiro que satisfaz é n=-7. Assim
x_{\text{mín positivo}}=\frac{\pi(-7+8)}{k}=\frac{\pi}{k}.í
Comentário didático: este \dfrac{\pi}{k} é o menor x>0 onde, naquele instante, aparece um máximo — não é necessariamente a posição da mesma máximo que estava em x=0 em t=0; é apenas o menor ponto positivo onde há um pico naquele tempo.

Passo 4

Calcular a velocidade média de deslocamento da distribuição (movimento de um máximo particular) e comparar com a fórmula do exemplo:
  • A posição do máximo indexado por n é x_{n}(t)=\dfrac{2\pi n + \Delta\omega\, t}{\Delta k}. Diferenciando em relação ao tempo obtemos a velocidade com que esse máximo específico se desloca:
\frac{dx_{n}}{dt}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.
Isto significa que todos os máximos (cada faixa de interferência) deslocam-se com velocidade constante \Delta\omega/\Delta k.
  • Em particular, o máximo que estava em x=0 em t=0 corresponde a n=0. Sua posição em tempo t é
x_{0}(t)=\frac{\Delta\omega\, t}{\Delta k},
portanto a velocidade média (e, de fato, a velocidade instantânea) desse máximo é
v_{\text{méd}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k}.é
  • Substituindo \Delta\omega=8\omega e \Delta k=2k temos
v_{\text{méd}}=\frac{8\omega}{2k}=\frac{4\omega}{k}.é
  • Substituindo \omega=\dfrac{\hbar k^{2}}{2m},
v_{\text{méd}}=\frac{4}{k}\cdot\frac{\hbar k^{2}}{2m}=\frac{4\hbar k^{2}}{2m k}=\frac{2\hbar k}{m}.é
  • Comparação: a expressão fornecida no enunciado do Exemplo 40.1 é exatamente
v_{\text{méd}}=\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{k_{2}-k_{1}}=\frac{\Delta\omega}{\Delta k},é
que coincide com o resultado que acabamos de derivar. Observação prática: se você tomar a distância do máximo que estava em x=0 até sua nova posição em t=\dfrac{2\pi}{\omega}, obterá x_{0}\!\bigl(2\pi/\omega\bigr)=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta k}\cdot\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{4\omega}{k}\cdot\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{8\pi}{k}, o que corresponde ao deslocamento desse mesmo máximo; o menor máximo positivo \pi/k encontrado no item (a) é um máximo diferente (índice n=-7) presente naquele instante.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\pi}{k}
(b) \displaystyle v_{\text{méd}}=\frac{\omega_{2}-\omega_{1}}{k_{2}-k_{1}}=\frac{4\omega}{k}=\frac{2\hbar k}{m}é

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