40.3 • Considere a função de onda livre de partícula do Exemplo 40.1. Seja
. Em
, a função de distribuição de probabilidade
tem um máximo a
. (a) Qual é o menor valor positivo de
para o qual a função de distribuição de probabilidade tem um máximo no tempo
, onde
? (b) A partir do seu resultado no item (a), qual é a velocidade média com a qual a distribuição de probabilidade está se movendo na direção
? Compare seu resultado com a expressão
do Exemplo 40.1.
Passo 1
Enunciado e dados relevantes (resumindo o que foi dado e o que é pedido):
- Temos uma superposição de duas ondas planas (partícula livre) com números de onda relacionados por
. Logo e . - A constante
do enunciado é . - Em
a densidade de probabilidade tem um máximo em . - Pergunta (a): qual é o menor valor positivo de
para o qual tem um máximo no tempo ? - Pergunta (b): a partir do resultado do item (a), qual é a velocidade média com que a distribuição de probabilidade se move na direção
? Compare esse resultado com a expressão dada .
Passo 2
Escrever a condição geral para máximos de interferência (passo pedagógico — explicando a teoria necessária):
- Para a superposição de duas ondas planas iguais em amplitude,
a densidade de probabilidade (produto da função pela sua conjugada) dá, após contas padrão,
- Interpretação: a estrutura de máximos e mínimos em
provém do termo , onde definimos
- Máximos ocorrem quando o cosseno vale
, ou seja quando o argumento é múltiplo inteiro de :
- Assim as posições dos máximos em função do tempo são
Expliquei:
indexa os máximos; para
obtemos
.
Passo 3
Aplicar os dados numéricos dados pelo enunciado e achar as posições dos máximos no tempo pedido:
- Com
e temos
- As frequências de cada onda (energia cinética
) são
logo
- Usando a fórmula dos máximos:
- Agora evaluate em
:
- Para encontrar o menor valor positivo de
tomamos o menor inteiro tal que . A condição dá ; o menor inteiro que satisfaz é . Assim
Comentário didático: este
é o menor
onde, naquele instante, aparece um máximo — não é necessariamente a posição da mesma máximo que estava em
em
; é apenas o menor ponto positivo onde há um pico naquele tempo.
Passo 4
Calcular a velocidade média de deslocamento da distribuição (movimento de um máximo particular) e comparar com a fórmula do exemplo:
- A posição do máximo indexado por
é . Diferenciando em relação ao tempo obtemos a velocidade com que esse máximo específico se desloca:
Isto significa que todos os máximos (cada faixa de interferência) deslocam-se com velocidade constante
.
- Em particular, o máximo que estava em
em corresponde a . Sua posição em tempo é
portanto a velocidade média (e, de fato, a velocidade instantânea) desse máximo é
- Substituindo
e temos
- Substituindo
,
- Comparação: a expressão fornecida no enunciado do Exemplo 40.1 é exatamente
que coincide com o resultado que acabamos de derivar. Observação prática: se você tomar a distância do máximo que estava em
até sua nova posição em
, obterá
, o que corresponde ao deslocamento desse mesmo máximo; o menor máximo positivo
encontrado no item (a) é um máximo diferente (índice
) presente naquele instante.
Resposta
(a)
(b)
(b)