16 Calcule as convoluções e transformadas inversas:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede-se calcular a transformada de Laplace de
, isto é . - As duas funções envolvidas são
e . - Informação útil de domínio: a transformada de Laplace de
converge para e de para . A região comum será .
Passo 2
Definição de convolução (o que é, de modo prático, para calcular na prova).
- A convolução de duas funções
e é a função dada por
- Intuição rápida: convolução “mistura” os valores passados de
com ; na prática para calcular um valor em tempo integra-se sobre todos os instantes multiplicando o valor de em pelo valor de em .
Passo 3
Teorema da transformada para convolução (ferramenta chave).
- A propriedade que facilita muito é a do produto no domínio de
: para funções apropriadas
- Vou usar isso: em vez de calcular diretamente a integral da convolução e depois transformar, posso transformar
e separadamente e multiplicar as transformadas.
Passo 4
Transformadas de Laplace individuais (fórmulas básicas e suas regiões).
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Aplicando o teorema da convolução para obter diretamente
.
- Multiplicando as transformadas:
com região de convergência
(interseção das regiões individuais).
Passo 6
Quer também ver a convolução explicitamente (útil pra prova e para checar a inversa). Escrevendo a integral:
Usa-se a identidade trigonométrica
para separar a integral.
Passo 7
Calcular as integrais que aparecem ao separar:
- Escrevendo
- Primitivas conhecidas:
- Avaliando de
a :
Passo 8
Combinar resultados e simplificar para obter a expressão fechada da convolução:
- Substituindo:
- Agrupando termos (mostrar cálculo rápido):
- Como
, fica
Passo 9
Checagem rápida (opcional mas útil na prova): transformar a expressão obtida e verificar que dá o produto:
- Tomando transformada de
obtém-se
confirmando consistência.