16 Calcule as convoluções e transformadas inversas:
\mathcal{L}\left\{e^{t} * \sin (t)\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede-se calcular a transformada de Laplace de e^{t} * \sin(t), isto é \mathcal{L}\{e^{t} * \sin(t)\}.
  • As duas funções envolvidas são f(t)=e^{t} e g(t)=\sin t.
  • Informação útil de domínio: a transformada de Laplace de e^{t} converge para \operatorname{Re}(s)>1 e de \sin t para \operatorname{Re}(s)>0. A região comum será \operatorname{Re}(s)>1.

Passo 2

Definição de convolução (o que é, de modo prático, para calcular na prova).
  • A convolução de duas funções f e g é a função (f*g)(t) dada por
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
  • Intuição rápida: convolução “mistura” os valores passados de f com g; na prática para calcular um valor em tempo t integra-se sobre todos os instantes \tau\in[0,t] multiplicando o valor de f em \tau pelo valor de g em t-\tau.

Passo 3

Teorema da transformada para convolução (ferramenta chave).
  • A propriedade que facilita muito é a do produto no domínio de s: para funções apropriadas
\mathcal{L}\{f*g\}(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)\cdot\mathcal{L}\{g\}(s).
  • Vou usar isso: em vez de calcular diretamente a integral da convolução e depois transformar, posso transformar f e g separadamente e multiplicar as transformadas.

Passo 4

Transformadas de Laplace individuais (fórmulas básicas e suas regiões).
  • Para f(t)=e^{t}:
\mathcal{L}\{e^{t}\}(s)=\frac{1}{s-1},\qquad \text{valendo para }\operatorname{Re}(s)>1.
  • Para g(t)=\sin t:
\mathcal{L}\{\sin t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad \text{valendo para }\operatorname{Re}(s)>0.

Passo 5

Aplicando o teorema da convolução para obter diretamente \mathcal{L}\{e^{t}*\sin t\}.
  • Multiplicando as transformadas:
\mathcal{L}\{e^{t}*\sin t\}(s) =\frac{1}{s-1}\cdot\frac{1}{s^{2}+1} =\frac{1}{(s-1)(s^{2}+1)},
com região de convergência \operatorname{Re}(s)>1 (interseção das regiões individuais).

Passo 6

Quer também ver a convolução explicitamente (útil pra prova e para checar a inversa). Escrevendo a integral:
(e^{t}*\sin t)(t)=\int_{0}^{t} e^{\tau}\,\sin(t-\tau)\,d\tau.
Usa-se a identidade trigonométrica \sin(t-\tau)=\sin t\cos\tau-\cos t\sin\tau para separar a integral.

Passo 7

Calcular as integrais que aparecem ao separar:
  • Escrevendo
(e^{t}*\sin t)(t)=\sin t\int_{0}^{t} e^{\tau}\cos\tau\,d\tau-\cos t\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin\tau\,d\tau.
  • Primitivas conhecidas:
\int e^{\tau}\cos\tau\,d\tau=\frac{e^{\tau}}{2}(\sin\tau+\cos\tau)+C, \qquad \int e^{\tau}\sin\tau\,d\tau=\frac{e^{\tau}}{2}(\sin\tau-\cos\tau)+C.
  • Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t} e^{\tau}\cos\tau\,d\tau=\frac{e^{t}}{2}(\sin t+\cos t)-\frac{1}{2},
\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin\tau\,d\tau=\frac{e^{t}}{2}(\sin t-\cos t)+\frac{1}{2}.

Passo 8

Combinar resultados e simplificar para obter a expressão fechada da convolução:
  • Substituindo:
(e^{t}*\sin t)(t)=\sin t\Bigl(\frac{e^{t}}{2}(\sin t+\cos t)-\frac{1}{2}\Bigr) -\cos t\Bigl(\frac{e^{t}}{2}(\sin t-\cos t)+\frac{1}{2}\Bigr).
  • Agrupando termos (mostrar cálculo rápido):
(e^{t}*\sin t)(t)=\frac{e^{t}}{2}\bigl(\sin^{2}t+\sin t\cos t -\sin t\cos t+\cos^{2}t\bigr) -\frac{1}{2}(\sin t+\cos t).
  • Como \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, fica
(e^{t}*\sin t)(t)=\frac{e^{t}}{2}-\frac{1}{2}(\sin t+\cos t) =\frac{1}{2}\bigl(e^{t}-\sin t-\cos t\bigr).

Passo 9

Checagem rápida (opcional mas útil na prova): transformar a expressão obtida e verificar que dá o produto:
  • Tomando transformada de \dfrac{1}{2}\bigl(e^{t}-\sin t-\cos t\bigr) obtém-se
\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s^{2}+1}-\frac{s}{s^{2}+1}\Bigr) =\frac{1}{(s-1)(s^{2}+1)},
confirmando consistência.

Resposta

\mathcal{L}\{e^{t}*\sin t\}(s)=\dfrac{1}{(s-1)(s^{2}+1)}\n
(e^{t}*\sin t)(t)=\dfrac{1}{2}\bigl(e^{t}-\sin t-\cos t\bigr)

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