Um fio eléctrico de 2 mm de diâmetro e 10 m de comprimento está envolvido por uma cobertura de plástico com 1 mm de espessura (
). A intensidade da corrente que percorre o fio é 10 A e a diferença de potencial 8 V . O meio exterior está a
e o coeficiente de transmissão de calor é
. Obter a temperatura na interface fio eléctrico/plástico e o raio crítico. Se a espessura do plástico dobrar, como deve variar a temperatura da interface?
Passo 1
O enunciado dá um fio cilíndrico com as seguintes informações (vou listar tudo para ficar claro o que temos e o que pediram):
- Diâmetro do fio metálico:
→ raio interno (fio) . - Espessura da cobertura plástica:
→ raio externo da cobertura . - Comprimento do fio:
. - Condutividade térmica do plástico:
. - Corrente elétrica:
. - Diferença de potencial ao longo do fio:
. - Temperatura ambiente exterior:
. - Coeficiente de transferência por convecção no exterior:
.
O que o problema pede:
- Obter a temperatura na interface fio elétrico / plástico (isto é, a temperatura na superfície do fio, em
). - Obter o raio crítico da cobertura.
- Verificar o que acontece com a temperatura da interface se a espessura do plástico dobrar (isto é, calcular a nova temperatura da interface quando a espessura passa de
para ).
Passo 2
Entendendo o balanço de energia e como modelar o problema (aulas rápidas e práticas):
- A potência dissipada por efeito Joule no fio é a energia que deve sair do fio por condução através do plástico e depois por convecção para o ar. Em regime estacionário, toda a potência elétrica se transforma em calor e é evacuada para o exterior.
- A potência elétrica dissipada é:
onde
é a corrente e
a diferença de potencial aplicada ao fio.
- Para o transporte de calor radial em torno de um cilindro com isolamento, usamos o conceito de resistências térmicas em série:
- Resistência por condução através do casaco cilíndrico (do raio
ao ):
- Resistência por convecção na superfície externa (raio
):
- Resistência por condução através do casaco cilíndrico (do raio
- A diferença de temperatura entre a superfície do fio (interface) e o ambiente é dada por:
Aqui
é a temperatura na interface fio/plástico (em
),
é a temperatura ambiente, e
é a potência total dissipada.
Vou agora calcular cada uma dessas quantidades com os números do enunciado.
Passo 3
Calcular a potência dissipada
:
Usando
,
Então
.
Passo 4
Calcular a resistência térmica por condução através do plástico:
Usamos
Substituindo os valores:
,
,
. Então
Calculemos passo a passo:
Passo 5
Calcular a resistência por convecção na superfície externa:
Usamos
Substituindo
,
,
:
Passo 6
Calcular a diferença de temperatura entre a interface e o ambiente e obter a temperatura da interface:
A resistência térmica total (do fio para o ambiente) é
A diferença de temperatura é
Logo a temperatura da interface é
Arredondando razoavelmente:
Passo 7
Calcular o raio crítico da cobertura (explicação do conceito e derivação curta):
- Ideia física: ao aumentar o raio externo
de um isolamento cilíndrico, duas coisas mudam: a resistência por condução aumenta (porque o calor tem que atravessar mais material) mas a área de convecção externa também aumenta (o que tende a diminuir a resistência convectiva). Existe um raio externo para o qual a taxa de perda de calor é máxima; esse raio chama-se raio crítico. Para um cilindro o raio crítico é obtido anulando a derivada da resistência térmica total em relação a .
Partindo de
fazendo
obtém-se (após manipulação algébrica)
Substituindo
e
:
Portanto o raio crítico é
.
Observação física útil: nosso raio externo atual
é menor que o raio crítico
. Isso significa que, nesta faixa, aumentar a espessura (aumentar
) tende a aumentar a perda de calor (reduzir a temperatura do fio) — porque o efeito do aumento da área superficial vence o aumento da resistência por condução. Já quando
, aumentar a espessura reduziria a perda de calor (aumentaria a temperatura).
Passo 8
Agora, analisar o caso em que a espessura do plástico dobra (de
para
):
- Novo raio externo:
. - Recalcular
:
- Recalcular
:
Calcule
.
- Resistência total nova:
- Nova diferença de temperatura:
- Nova temperatura da interface:
Conclusão: ao dobrar a espessura do plástico (aumentar o raio externo para
), a temperatura da interface diminui de cerca de
para cerca de
. Isso está de acordo com a observação do raio crítico: como o raio externo original (
) é menor que
, aumentar a espessura inicialmente aumenta a dissipação, reduzindo a temperatura do fio.
Resposta
Com a espessura dobrada: