11^{\circ} Um fio eléctrico de 2 mm de diâmetro e 10 m de comprimento está envolvido por uma cobertura de plástico com 1 mm de espessura ( \mathrm{k}=0.15 \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) ). A intensidade da corrente que percorre o fio é 10 A e a diferença de potencial 8 V . O meio exterior está a 30^{\circ} \mathrm{C} e o coeficiente de transmissão de calor é 18 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}\right. \mathrm{K}). Obter a temperatura na interface fio eléctrico/plástico e o raio crítico. Se a espessura do plástico dobrar, como deve variar a temperatura da interface?

Passo 1

O enunciado dá um fio cilíndrico com as seguintes informações (vou listar tudo para ficar claro o que temos e o que pediram):
  • Diâmetro do fio metálico: \,2\\ \text{mm}\, → raio interno (fio) \,r_1=1\\ \text{mm}=0{,}001\\ \text{m}.
  • Espessura da cobertura plástica: \,1\\ \text{mm}\, → raio externo da cobertura \,r_2=r_1+1\\ \text{mm}=2\\ \text{mm}=0{,}002\\ \text{m}.
  • Comprimento do fio: \,L=10\\ \text{m}.
  • Condutividade térmica do plástico: \,k=0{,}15\\ \text{W}/(\text{m}\cdot\text{K}).
  • Corrente elétrica: \,I=10\\ \text{A}.
  • Diferença de potencial ao longo do fio: \,V=8\\ \text{V}.
  • Temperatura ambiente exterior: \,T_\infty=30^\circ\text{C}.
  • Coeficiente de transferência por convecção no exterior: \,h=18\\ \text{W}/(\text{m}^2\cdot\text{K}).
O que o problema pede:
  1. Obter a temperatura na interface fio elétrico / plástico (isto é, a temperatura na superfície do fio, em r=r_1).
  2. Obter o raio crítico da cobertura.
  3. Verificar o que acontece com a temperatura da interface se a espessura do plástico dobrar (isto é, calcular a nova temperatura da interface quando a espessura passa de 1\\ \text{mm} para 2\\ \text{mm}).

Passo 2

Entendendo o balanço de energia e como modelar o problema (aulas rápidas e práticas):
  • A potência dissipada por efeito Joule no fio é a energia que deve sair do fio por condução através do plástico e depois por convecção para o ar. Em regime estacionário, toda a potência elétrica se transforma em calor e é evacuada para o exterior.
  • A potência elétrica dissipada é:
P = I \cdot V,
onde \,I é a corrente e \,V a diferença de potencial aplicada ao fio.
  • Para o transporte de calor radial em torno de um cilindro com isolamento, usamos o conceito de resistências térmicas em série:
    • Resistência por condução através do casaco cilíndrico (do raio r_1 ao r_2):
    R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi L k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
    • Resistência por convecção na superfície externa (raio r_2):
    R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,(2\pi r_2 L)}.
  • A diferença de temperatura entre a superfície do fio (interface) e o ambiente é dada por:
T_{1}-T_\infty = P\,(R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}}).
Aqui \,T_{1} é a temperatura na interface fio/plástico (em r=r_1), T_\infty é a temperatura ambiente, e P é a potência total dissipada.
Vou agora calcular cada uma dessas quantidades com os números do enunciado.

Passo 3

Calcular a potência dissipada P:
Usando \,P=I\cdot V,
P = 10\\ \text{A}\times 8\\ \text{V} = 80\\ \text{W}.
Então P=80\\ \text{W}.

Passo 4

Calcular a resistência térmica por condução através do plástico:
Usamos
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi L k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right).
Substituindo os valores: \,L=10\\ \text{m}, \,k=0{,}15\\ \text{W}/(\text{mK}), \,r_2/r_1=0{,}002/0{,}001=2. Então
R_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi\cdot 10\cdot 0{,}15}\ln(2).
Calculemos passo a passo:
2\pi L k = 2\pi\cdot 10\cdot 0{,}15 = 3\pi \approx 9{,}42477796.
\ln(2)\approx 0{,}693147.
R_{\text{cond}} \approx \frac{0{,}693147}{9{,}42477796} \approx 0{,}07357\\ \text{K/W}.

Passo 5

Calcular a resistência por convecção na superfície externa:
Usamos
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,(2\pi r_2 L)}.
Substituindo \,h=18\\ \text{W}/(\text{m}^2\text{K}), \,r_2=0{,}002\\ \text{m}, \,L=10\\ \text{m}:
2\pi r_2 L = 2\pi\cdot 0{,}002\cdot 10 = 2\pi\cdot 0{,}02 \approx 0{,}1256637.
h(2\pi r_2 L)\approx 18\cdot 0{,}1256637 \approx 2{,}2619467.
R_{\text{conv}} \approx \frac{1}{2{,}2619467} \approx 0{,}4423\\ \text{K/W}.

Passo 6

Calcular a diferença de temperatura entre a interface e o ambiente e obter a temperatura da interface:
A resistência térmica total (do fio para o ambiente) é
R_{\text{tot}} = R_{\text{cond}} + R_{\text{conv}} \approx 0{,}07357 + 0{,}4423 = 0{,}51587\\ \text{K/W}.
A diferença de temperatura é
\Delta T = T_{1}-T_\infty = P\,R_{\text{tot}} = 80\\ \text{W}\times 0{,}51587\\ \text{K/W} \approx 41{,}27\\ ^\circ\text{C}.
Logo a temperatura da interface é
T_{1} = T_\infty + \Delta T = 30^\circ\text{C} + 41{,}27^\circ\text{C} \approx 71{,}27^\circ\text{C}.
Arredondando razoavelmente: \,T_{1}\approx 71{,}3^\circ\text{C}.

Passo 7

Calcular o raio crítico da cobertura (explicação do conceito e derivação curta):
  • Ideia física: ao aumentar o raio externo r_2 de um isolamento cilíndrico, duas coisas mudam: a resistência por condução aumenta (porque o calor tem que atravessar mais material) mas a área de convecção externa também aumenta (o que tende a diminuir a resistência convectiva). Existe um raio externo para o qual a taxa de perda de calor é máxima; esse raio chama-se raio crítico. Para um cilindro o raio crítico é obtido anulando a derivada da resistência térmica total em relação a r_2.
Partindo de
R_{\text{tot}}(r_2)=\frac{1}{2\pi L k}\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)+\frac{1}{h\,2\pi r_2 L},
fazendo \frac{dR_{\text{tot}}}{dr_2}=0 obtém-se (após manipulação algébrica)
r_{\text{cr}}=\frac{k}{h}.
Substituindo k=0{,}15\\ \text{W}/(\text{mK}) e h=18\\ \text{W}/(\text{m}^2\text{K}):
r_{\text{cr}}=\frac{0{,}15}{18}=0{,}008333\\ \text{m}=8{,}33\\ \text{mm}.
Portanto o raio crítico é \,r_{\text{cr}}\approx 8{,}33\\ \text{mm}.
Observação física útil: nosso raio externo atual r_2=2\\ \text{mm} é menor que o raio crítico 8{,}33\\ \text{mm}. Isso significa que, nesta faixa, aumentar a espessura (aumentar r_2) tende a aumentar a perda de calor (reduzir a temperatura do fio) — porque o efeito do aumento da área superficial vence o aumento da resistência por condução. Já quando r_2>r_{\text{cr}}, aumentar a espessura reduziria a perda de calor (aumentaria a temperatura).

Passo 8

Agora, analisar o caso em que a espessura do plástico dobra (de 1\\ \text{mm} para 2\\ \text{mm}):
  • Novo raio externo: \,r_2' = r_1 + 2\\ \text{mm} = 0{,}001 + 0{,}002 = 0{,}003\\ \text{m}.
  • Recalcular R_{\text{cond}}':
R_{\text{cond}}'=\frac{1}{2\pi L k}\ln\!\left(\frac{r_2'}{r_1}\right)=\frac{1}{2\pi\cdot 10\cdot 0{,}15}\ln\!\left(\frac{0{,}003}{0{,}001}\right) =\frac{\ln(3)}{9{,}42477796}.
\ln(3)\approx 1{,}0986123\quad\Rightarrow\quad R_{\text{cond}}'\approx \frac{1{,}0986123}{9{,}42477796}\approx 0{,}11662\\ \text{K/W}.
  • Recalcular R_{\text{conv}}':
R_{\text{conv}}'=\frac{1}{h(2\pi r_2' L)}=\frac{1}{18\cdot 2\pi\cdot 0{,}003\cdot 10}.
Calcule 2\pi r_2' L = 2\pi\cdot 0{,}003\cdot 10 = 2\pi\cdot 0{,}03 \approx 0{,}1884956.
h(2\pi r_2' L)\approx 18\cdot 0{,}1884956 \approx 3{,}392920.
R_{\text{conv}}' \approx \frac{1}{3{,}392920} \approx 0{,}2947\\ \text{K/W}.
  • Resistência total nova:
R_{\text{tot}}' = R_{\text{cond}}' + R_{\text{conv}}' \approx 0{,}11662 + 0{,}2947 = 0{,}41132\\ \text{K/W}.
  • Nova diferença de temperatura:
\Delta T' = P\,R_{\text{tot}}' = 80\\ \text{W}\times 0{,}41132\\ \text{K/W} \approx 32{,}91^\circ\text{C}.
  • Nova temperatura da interface:
T_1' = T_\infty + \Delta T' = 30^\circ\text{C} + 32{,}91^\circ\text{C} \approx 62{,}91^\circ\text{C}.
Conclusão: ao dobrar a espessura do plástico (aumentar o raio externo para 3\\ \text{mm}), a temperatura da interface diminui de cerca de 71{,}3^\circ\text{C} para cerca de 62{,}9^\circ\text{C}. Isso está de acordo com a observação do raio crítico: como o raio externo original ( 2\\ \text{mm}) é menor que r_{\text{cr}}\approx 8{,}33\\ \text{mm}, aumentar a espessura inicialmente aumenta a dissipação, reduzindo a temperatura do fio.

Resposta

T_{1}\approx 71{,}3^\circ\text{C}.
r_{\text{cr}}\approx 8{,}33\\ \text{mm}.
Com a espessura dobrada: T_{1}'\approx 62{,}9^\circ\text{C}.

Exercícios relacionados