23^{\circ} Determinado processo industrial apresenta uma grande quantidade de tubos para condução de vapor, onde a temperatura externa destes tubos mantém-se aproximadamente a 150^{\circ} \mathrm{C}. Com o objetivo de aproveitar sobras de material e ainda reduzir a perda de calor, um dos engenheiros da empresa sugeriu que fosse colocado sobre a tubulação uma sobra de isolante térmico com as seguintes características, \mathrm{k}=0,40 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, e espessura igual a 5 mm . Sabendose que o raio externo da tubulação é de 15 mm , que o coeficiente de convecção externo é de \mathrm{h}=20 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{C} e que a temperatura ambiente é de 25^{\circ} \mathrm{C}, responda:
a) O que se pode concluir em relação a sugestão do engenheiro?
b) Você apoiaria a sugestão? Justifique.
c) Se a espessura do isolamento fosse de 10 mm você apoiaria a sugestão? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação com temperatura externa aproximadamente \,150^\circ\mathrm{C}\, e diz que querem cobrir a tubulação com um isolante. Os dados fornecidos são:
\begin{aligned} &\text{Temperatura da superfície do tubo: } T_s = 150^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Temperatura ambiente: } T_\infty = 25^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{Condutividade térmica do isolamento: } k = 0{,}40\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)},\\\ &\text{Espessura do isolamento (caso a): } e_1 = 5\\ \mathrm{mm} = 0{,}005\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Espessura do isolamento (caso c): } e_2 = 10\\ \mathrm{mm} = 0{,}010\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Raio externo do tubo (sem isolamento): } r_1 = 15\\ \mathrm{mm} = 0{,}015\\ \mathrm{m},\\\ &\text{Coeficiente de convecção externo: } h = 20\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}. \end{aligned}íéçã
O enunciado pede:
a) conclusão sobre a sugestão do engenheiro (isolamento com e_1=5\\ \mathrm{mm});
b) se eu apoiaria a sugestão e justificativa;
c) se eu apoiaria caso a espessura fosse e_2=10\\ \mathrm{mm} e justificativa.
Vou comparar as perdas de calor por unidade de comprimento (por metro) sem isolamento, com 5\\ \mathrm{mm} e com 10\\ \mathrm{mm}. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (aula rápida, mastigada):
  • Para um problema de condução radial em um cilindro cilíndrico (isolante em torno de um tubo) em regime permanente, por unidade de comprimento L a resistência térmica da camada de isolamento é
R_{\text{cond}}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}{2\pi k L},
onde \,r_1\, é o raio interno da camada (aqui o raio externo do tubo), \,r_2\, é o raio externo da camada (ou seja r_2=r_1+e), k é a condutividade e L é o comprimento. Explicando: essa fórmula vem de integrar a lei de Fourier na coordenada radial para um cilindro. A unidade de R_{\text{cond}} é \mathrm{^\circ C/W} por comprimento L (se usar L=1\\ \mathrm{m}, fica por metro).
  • A resistência de convecção (troca entre superfície externa do isolamento e o ar) por unidade de comprimento L é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,2\pi r_2 L},
pois a área convectiva por unidade de comprimento é A=2\pi r_2 L.
  • A resistência equivalente por unidade de comprimento é
R_{\text{tot}}=R_{\text{cond}}+R_{\text{conv}},
e a perda de calor por unidade de comprimento (potência por metro) é
\dot q'=\frac{T_s-T_\infty}{R_{\text{tot}}}.
  • Para comparar situações diferentes, trabalho com L=1\\ \mathrm{m} (energia por metro de tubo).
  • Conceito importante: raio crítico do isolamento para cilindro é
r_{\text{cr}}=\frac{k}{h}.
Se o raio externo r_2 do conjunto for menor que r_{\text{cr}}, adicionar isolamento tende a aumentar a perda de calor (porque aumenta área convectiva mais que a resistência do material compensa). Se r_2>r_{\text{cr}}, adicionar isolamento diminui a perda. Vamos usar essas fórmulas pra calcular os três casos.

Passo 3

Calcular primeiro a referência: perda por metro sem isolamento (ou seja superfície exposta com raio r_1=0{,}015\\ \mathrm{m}). Não há resistência de condução (camada nula), só convecção:
R_{\text{tot,\,sem}}=R_{\text{conv,\,sem}}=\frac{1}{h\,2\pi r_1 \cdot 1}.
Substituindo:
2\pi r_1 = 2\pi(0{,}015)=0{,}09424778\\ \mathrm{m},
h\,2\pi r_1 = 20\times 0{,}09424778 = 1{,}88495559\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}.
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R_{\text{tot,\,sem}}=\frac{1}{1{,}88495559}=0{,}53051648\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
A diferença de temperatura é \Delta T=150-25=125^\circ\mathrm{C}. Então a perda por metro sem isolamento é
\dot q'_{\text{sem}}=\frac{125}{0{,}53051648}=235{,}68\\ \mathrm{W/m}.
(Arredondo para apresentação: \dot q'_{\text{sem}}\approx 235{,}7\\ \mathrm{W/m}.)

Passo 4

Caso com isolamento de e_1=5\\ \mathrm{mm}. Aqui:
r_2 = r_1 + e_1 = 0{,}015 + 0{,}005 = 0{,}020\\ \mathrm{m}.
Calcule R_{\text{cond}} e R_{\text{conv}} (por metro):
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}020}{0{,}015}\right)=\ln(1{,}333333)=0{,}28768207.
R_{\text{cond}}=\frac{0{,}28768207}{2\pi(0{,}40)\cdot 1}=\frac{0{,}28768207}{2{,}51327412}=0{,}11440306\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{20\cdot 2\pi \cdot 0{,}020\cdot 1}=\frac{1}{2{,}51327412}=0{,}39788736\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
Somando:
R_{\text{tot,\,5mm}}=0{,}11440306+0{,}39788736=0{,}51229042\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
Portanto a perda por metro é
\dot q'_{5\mathrm{mm}}=\frac{125}{0{,}51229042}=244{,}08\\ \mathrm{W/m}\approx 244{,}1\\ \mathrm{W/m}.

Passo 5

Interpretação dos resultados até aqui e resposta parcial (relacionada a a) e b)):
  • Comparando:
\dot q'_{\text{sem}} \approx 235{,}7\\ \mathrm{W/m},\qquad \dot q'_{5\mathrm{mm}} \approx 244{,}1\\ \mathrm{W/m}.
Ou seja, com 5\\ \mathrm{mm} de isolamento a perda de calor aumentou (aprox.\ +8{,}4\\ \mathrm{W/m}, cerca de 3{,}6\%). Isso acontece por causa do raio crítico:
r_{\text{cr}}=\frac{k}{h}=\frac{0{,}40}{20}=0{,}02\\ \mathrm{m}=20\\ \mathrm{mm}.
No caso de 5\\ \mathrm{mm} o raio externo r_2 ficou exatamente em 0{,}02\\ \mathrm{m}, ou seja no raio crítico. Para um cilindro, quando se atinge o raio crítico a perda por unidade de comprimento é máxima; adicionar uma camada fina que leve o raio até o raio crítico tende a aumentar a área convectiva sem que a resistência do material compense bastante, então a troca aumenta. Conclusão para (a): a sugestão do engenheiro (usar essa sobra de 5\\ \mathrm{mm}) não reduz as perdas; pelo contrário, aumenta um pouco a perda térmica. Para (b): eu não apoiaria a sugestão de usar exatamente 5\\ \mathrm{mm}, porque os cálculos mostram aumento da perda (justificativa: valores numéricos e conceito de raio crítico).

Passo 6

Agora calcular o caso com e_2=10\\ \mathrm{mm}. Aqui
r_2 = r_1 + e_2 = 0{,}015 + 0{,}010 = 0{,}025\\ \mathrm{m}.
Calcule R_{\text{cond}} e R_{\text{conv}}:
\ln\!\left(\frac{r_2}{r_1}\right)=\ln\!\left(\frac{0{,}025}{0{,}015}\right)=\ln(1{,}6666667)=0{,}51082562.
R_{\text{cond}}=\frac{0{,}51082562}{2\pi(0{,}40)\cdot 1}=\frac{0{,}51082562}{2{,}51327412}=0{,}20329857\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
R_{\text{conv}}=\frac{1}{20\cdot 2\pi \cdot 0{,}025\cdot 1}=\frac{1}{3{,}14159265}=0{,}31830989\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
R_{\text{tot,\,10mm}}=0{,}20329857+0{,}31830989=0{,}52160846\\ \mathrm{^\circ C/W\\ per\\ m}.
\dot q'_{10\mathrm{mm}}=\frac{125}{0{,}52160846}=239{,}61\\ \mathrm{W/m}\approx 239{,}6\\ \mathrm{W/m}.

Passo 7

Interpretação do caso de 10\\ \mathrm{mm} e resposta para (c):
  • Comparando com o caso sem isolamento:
\dot q'_{\text{sem}}\approx 235{,}7\\ \mathrm{W/m},\qquad \dot q'_{10\mathrm{mm}}\approx 239{,}6\\ \mathrm{W/m}.
Ou seja, mesmo com 10\\ \mathrm{mm} de isolamento ainda há um leve aumento da perda em relação ao caso sem isolamento (aprox.\ +3{,}9\\ \mathrm{W/m}, cerca de 1{,}7\%). O motivo: começamos com um raio inicial r_1=0{,}015\\ \mathrm{m} que é menor que o raio crítico r_{\text{cr}}=0{,}02\\ \mathrm{m}; ao adicionar isolamento até r_2=0{,}025\\ \mathrm{m} passamos do ponto máximo (em 0{,}02\\ \mathrm{m}) para uma região onde a perda diminui em relação ao pico, mas ainda não diminuiu abaixo do nível sem isolamento. Para que o isolamento realmente reduza a perda em relação ao tubo nu é necessário uma espessura maior, suficiente para que a resistência do material compense a maior área convectiva. (Ex.: se aumentarmos bastante a espessura, em algum ponto a perda será menor que sem isolamento — dá para calcular o valor necessário numericamente, mas não era pedido.)

Passo 8

Resumo prático e recomendação (motivação técnica curta, estilo amigo):
  • Colocar uma camada de apenas 5\\ \mathrm{mm} (sobra do material) NÃO é uma boa ideia: aumenta a perda e, além disso, gasta material sem benefício.
  • Com 10\\ \mathrm{mm} também, do ponto de vista puramente térmico, não apoiei: ainda se tem perda ligeiramente maior do que sem isolamento.
  • Se a intenção for realmente reduzir perda, é preciso calcular a espessura mínima que faça \dot q' menor que \dot q'_{\text{sem}}; isso exige mais material do que 10\\ \mathrm{mm} no caso dado.
  • Observação prática: além da eficiência térmica, podem existir outras razões (proteção mecânica, segurança, normas, aparência) para querer cobrir a tubulação; se for só para reduzir perdas, com estes parâmetros não vale a pena usar só a sobra de 5\\ \mathrm{mm} (nem 10\\ \mathrm{mm}).

Resposta

a) A sugestão de usar a sobra de 5\\ \mathrm{mm} não é boa: com 5\\ \mathrm{mm} a perda aumenta de \approx 235{,}7\\ \mathrm{W/m} para \approx 244{,}1\\ \mathrm{W/m}.
b) Não apoiaria a sugestão (com 5\\ \mathrm{mm}), pois os cálculos mostram aumento da perda térmica — o raio externo fica no raio crítico r_{\text{cr}}=k/h=0{,}02\\ \mathrm{m}, ponto em que a perda por metro é máxima.
c) Com 10\\ \mathrm{mm} a perda fica \approx 239{,}6\\ \mathrm{W/m}, ainda ligeiramente maior que sem isolamento ( \approx 235{,}7\\ \mathrm{W/m}); portanto também não apoiaria apenas 10\\ \mathrm{mm} se o objetivo for reduzir perdas.

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