16^circ ) Determine as derivadas:
w=e^x y z, com x=2 t, y=1-t^2 e z=1+t

Passo 1

O enunciado dá
w = e^x y z,
onde
x = 2t, y = 1 - t^2, z = 1 + t,
e pede dwdt. Vamos usar a regra da cadeia para derivada de função composta de várias variáveis.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de w em relação a x, y e z. Como w=e^xyz, tem-se
partial wpartial x = y,z,e^x y z, partial wpartial y = x,z,e^x y z, partial wpartial z = x,y,e^x y z

Passo 3

Agora derivamos x, y e z em função de t:
dxdt = 2, dydt = -2t, dzdt = 1

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
dwdt = partial wpartial x,dxdt + partial wpartial y,dydt + partial wpartial z,dzdt

Passo 5

Substituindo as parciais e as derivadas de x,y,z:
dwdt = l(y,z,e^x y zr)cdot 2 + l(x,z,e^x y zr)cdot(-2t) + l(x,y,e^x y zr)cdot 1
Fatorando e^x y z:
dwdt = e^x y zl(2,y,z -2t,x,z + x,yr)
Finalmente, usando x=2t, y=1-t^2, z=1+t:
x y z = 2t(1 - t^2)(1 + t),
e
2,y,z = 2(1 - t^2)(1 + t), -2t,x,z = -2tcdot(2t),(1 + t) = -4t^2(1 + t), x,y = 2t(1 - t^2)

Resposta

dwdt = e^2t(1 - t^2)(1 + t)l(2(1 - t^2)(1 + t);-;4t^2(1 + t);+;2t(1 - t^2)r)

Exercícios relacionados