Calcule as derivadas de cada uma das funções abaixo.
p) f(x)=x^2+2 x+1x^2-2 x+1;

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
f(x)=x^2+2x+1x^2-2x+1
O conteúdo aqui é derivada de quociente: vamos identificar numerador e denominador, derivar cada um, aplicar a regra do quociente e simplificar o resultado.

Passo 2

Definimos
N(x)=x^2+2x+1, D(x)=x^2-2x+1
Derivando cada um, obtemos
N'(x)=2x+2, D'(x)=2x-2

Passo 3

Pela regra do quociente,
f'(x)=N'(x),D(x)-N(x),D'(x)l[D(x)r]^2

Passo 4

Calculamos os produtos no numerador:
N'(x)D(x)=(2x+2)(x^2-2x+1)=2x^3-2x^2-2x+2,
N(x)D'(x)=(x^2+2x+1)(2x-2)=2x^3+2x^2-2x-2
Subtraindo,
N'(x)D(x)-N(x)D'(x)=(2x^3-2x^2-2x+2)-(2x^3+2x^2-2x-2) =-4x^2+4

Passo 5

Fatoramos numerador e denominador:
-4x^2+4=-4(x^2-1)=-4(x-1)(x+1),
l[D(x)r]^2=(x^2-2x+1)^2=(x-1)^4
Então
f'(x)=-4(x-1)(x+1)(x-1)^4 =-4(x+1)(x-1)^3

Resposta

f'(x)=-4(x+1)(x-1)^3

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