Use o Teorema do Valor Intermediário para provar que existe uma raiz real da equação no intervalo especificado:
4^x^2-2(x+1)^2=0 em (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
4^x^2 - 2(x+1)^2 = 0
possui pelo menos uma solução real no intervalo (-1,0). O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que exige três coisas: uma função contínua num intervalo fechado [a,b], e valores em a e b com sinais opostos.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = 4^x^2 - 2(x+1)^2
Como a função exponencial 4^x^2 e o polinômio (x+1)^2 são contínuos em R, sua combinação f(x) também é contínua em qualquer intervalo real, em particular em [-1,0].

Passo 3

Calculamos os valores de f nas extremidades do intervalo:
f(-1) = 4^(-1)^2 - 2l((-1)+1r)^2 = 4^1 - 2cdot 0^2 = 4 > 0,
f(0) = 4^0^2 - 2l(0+1r)^2 = 4^0 - 2cdot 1^2 = 1 - 2 = -1 < 0
Logo, f(-1) e f(0) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, se f é contínua em [-1,0] e f(-1)cdot f(0)<0, então existe pelo menos um cin(-1,0) tal que
f(c) = 0

Resposta

Existe pelo menos uma raiz real da equação 4^x^2 - 2(x+1)^2 = 0 em (-1,0).

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