Prove para todo x neq 0
(1+x)^2 n>1+2 n x
(use desigualdade de Bernoulli).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo xneq0 e todo inteiro n>=1, vale a desigualdade
(1+x)^2n > 1 + 2n,x
O conteúdo envolvido é a desigualdade de Bernoulli, que afirma que, para todo número real y>= -1 e inteiro r>=1,
(1+y)^r >= 1 + r,y,
sendo a desigualdade estrita quando yneq0 e r>1.

Passo 2

Dividimos a prova em dois casos, pois a desigualdade de Bernoulli exige 1+y>=0.
Caso A: x>-1.
Caso B: x<-1 (ou seja, 1+x<0).

Passo 3

Caso A ( x>-1, xneq0):
Então 1+x>0 e podemos aplicar Bernoulli com y=x e r=2n. Como 2n>1 e xneq0, obtemos a forma estrita:
(1+x)^2n > 1 + 2n,x
Logo, a desigualdade é válida neste caso.

Passo 4

Caso B ( x<-1):
Aqui 1+x<0, mas como o expoente 2n é par, temos
(1+x)^2n = |,1+x,|^2n > 0
Por outro lado, x<-1 implica 2n,x < -2n, logo
1 + 2n,x < 1 - 2n <= 0
Com isso,
(1+x)^2n > 0 > 1 + 2n,x,
e a desigualdade também vale neste caso.

Resposta

Logo, em ambos os casos — x>-1 ou x<-1 — e para xneq0, vale
(1+x)^2n > 1 + 2n,x

Exercícios relacionados