Prove para todo
(use desigualdade de Bernoulli).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
e todo inteiro
, vale a desigualdade
O conteúdo envolvido é a desigualdade de Bernoulli, que afirma que, para todo número real
e inteiro
,
sendo a desigualdade estrita quando
e
.
Passo 2
Dividimos a prova em dois casos, pois a desigualdade de Bernoulli exige
.
Caso A: .
Caso B: (ou seja,
).
Caso A:
Caso B:
Passo 3
Caso A (
,
):
Então e podemos aplicar Bernoulli com
e
. Como
e
, obtemos a forma estrita:
Então
Logo, a desigualdade é válida neste caso.
Passo 4
Caso B (
):
Aqui , mas como o expoente
é par, temos
Aqui
Por outro lado,
implica
, logo
Com isso,
e a desigualdade também vale neste caso.
Resposta
Logo, em ambos os casos —
ou
— e para
, vale