16 d xd t & =x+y d yd t & =-2 x-y

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de equações diferenciais de primeira ordem:
dxdt=x+y
dydt=-2x-y
Esse é um sistema linear homogêneo. O conteúdo é EDOs lineares e vamos precisar usar técnicas de redução de ordem (ou autovalores) para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o sistema em forma matricial x'=Ax, onde
A=1 & 1 -2 & -1, x=xy
Mas em vez de achar autovalores, podemos derivar novamente a equação de x e eliminar y.

Passo 3

Derivando dx/dt=x+y em relação a t obtemos
d^2xdt^2=ddt(x+y)=dxdt+dydt=(x+y)+(-2x-y)=-x
Isso leva à equação escalar
d^2xdt^2+x=0,
que é uma EDO de segunda ordem com solução conhecida.

Passo 4

A equação x''+x=0 tem solução geral
x(t)=C1cos t + C2sin t,
onde C1 e C2 são constantes de integração.

Passo 5

Para achar y(t), usamos y=dxdt-x. Calculando:
dxdt=-C1sin t + C2cos t,
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y(t)=(-C1sin t + C2cos t)-(C1cos t + C2sin t)=(C2-C1)cos t - (C1+C2)sin t

Resposta

x(t)=C1cos t + C2sin t, y(t)=(C2-C1)cos t - (C1+C2)sin t

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