Prove por indução as seguintes propriedades do somatório:
sumk=1^n(ak-ak-1)=an-a0 (telescópica)

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução em n que a soma telescópica
nabla(n):;sumk=1^n(ak - ak-1) = an - a0,
conteúdo: princípio de indução matemática. Vamos precisar mostrar o caso base e o passo indutivo.

Passo 2

Verificamos o caso base n=1. À mão:
sumk=1^1(ak - ak-1) = a1 - a0,
que coincide com a1 - a0, logo nabla(1) é verdadeira.

Passo 3

Assumimos agora a hipótese de indução para um n arbitrário, isto é,
nabla(n):;sumk=1^n(ak - ak-1) = an - a0

Passo 4

E provamos nabla(n+1): escrevemos a soma até n+1 como a soma até n mais o termo k=n+1:
sumk=1^n+1(ak - ak-1) = sumk=1^n(ak - ak-1) + (an+1 - an)

Passo 5

Pelo passo indutivo substituímos:
sumk=1^n+1(ak - ak-1) = (an - a0) + (an+1 - an)

Passo 6

Reagrupando termos, o an se cancela: (an - a0) + (an+1 - an) = an+1 - a0, o que é exatamente nabla(n+1).

Passo 7

Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo inteiro n>=1.

Resposta

Por indução, conclui‐se que sumk=1^n(ak-ak-1)=an-a0 para todo ninN, n>=1.

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