Prove por indução as seguintes propriedades do somatório:
(telescópica)
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução em
que a soma telescópica
conteúdo: princípio de indução matemática. Vamos precisar mostrar o caso base e o passo indutivo.
Passo 2
Verificamos o caso base
. À mão:
que coincide com
Passo 3
Assumimos agora a hipótese de indução para um
arbitrário, isto é,
Passo 4
E provamos
: escrevemos a soma até
como a soma até
mais o termo
:
Passo 5
Pelo passo indutivo substituímos:
Passo 6
Reagrupando termos, o
se cancela:
o que é exatamente
.
Passo 7
Pelo princípio da indução, a fórmula vale para todo inteiro
.
Resposta
Por indução, conclui‐se que
para todo
.