Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Homogênea) y^prime=y^2x y+(x y^2)^13;

Passo 1

Resumo da Questão:
Estamos resolvendo uma Equação Diferencial de Primeira Ordem do tipo homogênea:
y' = y^2x y + (x y^2)^13
Conteúdo da Matéria:
  • Equações diferenciais homogêneas.
  • Substituições para simplificar a equação.
  • Métodos de integração, incluindo frações parciais.
O que vamos precisar:
  • Conhecimentos sobre substituições em equações diferenciais homogêneas.
  • Habilidade para realizar integrações utilizando frações parciais.

Passo 2

Identificando a Homogeneidade da Equação:
A equação dada é homogênea porque podemos expressá-la em termos de . Vamos fazer essa substituição para simplificar a equação.

Passo 3

Substituição y' = z + x dzdx :
Definimos , então .
Derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo na Equação Original:
Substituímos z + x dzdx = (z x)^2x (z x) + (x (z x)^2)^13 e x (z x) + (x z^2 x^2)^13 = x^2 z + x z^23 na equação original:
z + x dzdx = z^2 x^2x^2 z + x z^23 = z^2 xx z + z^23
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:

Passo 5

Isolando x dzdx = z^2 xx z + z^23 - z :
Subtraímos x dzdx = z^2 x - z (x z + z^23)x z + z^23 = -z^53x z + z^23 dos dois lados:
dzdx = -z^53x (x z + z^23)
Simplificando:
Assim:

Passo 6

Simplificando a Equação:
A equação ainda está complexa, então vamos tentar outra substituição. Definimos 3 t^2 dtdx = -t^5x (x t^3 + t^2) , então dtdx = -t^33x (x t^3 + t^2) e .
Substituindo na equação:
Simplificando:

Passo 7

Separando as Variáveis:
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis (x t^3 + t^2)t^3 dt = -13x dx e ( x t^3t^3 + t^2t^3 ) dt = -13x dx :
(x + t^-1) dt = -13x dx
Simplificando:

Passo 8

Integrando os Dois Lados:
Integramos ambos os lados:
integral (x + t^-1) dt = integral -13x dx
x integral dt + integral t^-1 dt = -13 integral 1x dx
x t + ln |t| = -13 ln |x| + C

Passo 9

Revertendo as Substituições:
Lembrando que x ( yx )^13 + ln | ( yx )^13 | = -13 ln |x| + C , substituímos de volta:
x y^13x^13 + 13 ln | yx | = -13 ln |x| + C
Simplificando:
x^23 y^13 + 13 ln |y| - 13 ln |x| = C

Passo 10

Expressando a Solução de Forma Implícita:
A solução final é dada implicitamente por:
x^23 y^13 + 13 ln ( yx ) = C
onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
x^23 y^13 + 13 ln ( yx ) = C
onde é a constante de integração.

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