Nos problemas abaixo, resolva as Equações Diferenciais de Primeira Ordem de acordo com os tipos indicados:
(Equação Homogênea)
;
(Equação Homogênea)
Passo 1
Resumo da Questão:
Estamos resolvendo uma Equação Diferencial de Primeira Ordem do tipo homogênea:
Conteúdo da Matéria:
- Equações diferenciais homogêneas.
- Substituições para simplificar a equação.
- Métodos de integração, incluindo frações parciais.
O que vamos precisar:
- Conhecimentos sobre substituições em equações diferenciais homogêneas.
- Habilidade para realizar integrações utilizando frações parciais.
Passo 2
Identificando a Homogeneidade da Equação:
A equação dada é homogênea porque podemos expressá-la em termos de
. Vamos fazer essa substituição para simplificar a equação.
Passo 3
Substituição
:
Definimos
, então
.
Derivando em relação a
:
Passo 4
Substituindo na Equação Original:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, a equação fica:
Passo 5
Isolando
:
Subtraímos
dos dois lados:
Simplificando:
Assim:
Passo 6
Simplificando a Equação:
A equação ainda está complexa, então vamos tentar outra substituição. Definimos
, então
e
.
Substituindo na equação:
Simplificando:
Passo 7
Separando as Variáveis:
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Simplificando:
Passo 8
Integrando os Dois Lados:
Integramos ambos os lados:
Passo 9
Revertendo as Substituições:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Simplificando:
Passo 10
Expressando a Solução de Forma Implícita:
A solução final é dada implicitamente por:
onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
onde
é a constante de integração.